Bonjour,
Le but de cet (serie?) d'exo (tres expérimentale ) est de (re)definir certaines notions classiques de Topologie algébrique (Théorie des revetements) mais dans un langage différent qui sera celui de la geom algebrique.

On rappelle tout d'abord quelques notations et def. Tous nos espaces seront supposés topologiques, un espace X au dessus de B est la donné d'un projection continue (notée p) de X sur B, on note et on appelle ceci la fibre de X en b. On appelle B-morphisme de X sur Y (deux espaces au dessus de B) une application continue qui commute aux projections. On a une catégorie BTop, d'espaces au dessus de B, muni des B morphisme

1) Soit X et Y, 2 espaces au dessus de B, montrer que le produit fibré de X et Y au dessus de B existe dans BTop, on le note .

On note le morphisme dit de separation induit par la projection X->B.

2)On dit que X est séparé au dessus de B, si est fermé (l'image d'un fermé est un fermé), montrer que si B est séparé topologiquement (Hausdorff) et X séparé au dessus de B alors X est séparé topologiquement (Hausdorff)

3) On dit que x est propre au dessus de B si les fibres de X sont quasi compactes et la projection est fermée.
Montrer que Si X est propre au dessus de B, alors pour tout b dans B et toute famille d'ouvert Ui recouvrant la fibre de b dans X, il existe une sous famille finie de Ui (disons Uj) et un ouvert V contenant b telle que .
(en fait la reciproque est vraie)

4)(plus dur) Supposons X séparé au dessus de B et B compact. Montrer que X est propre au dessus de B ssi l'image reciproque de tout compact par p est compact (c'est ce qu'on appelle propre en topologie)

Voila c'est un peu long a lire mais pas dur en fait! Il suffit juste de s'habituer au langage. Je ne sais pas s'il y aura une suite (ce dependra du succes de celui là!)