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Topologie - Composante connexe bornée
Bonjour à tous et bonnes fêtes à vous,
je suis actuellement sur le chapitre Topologie, et je réalise la playlist de Gilles Bailly Maitre sur Youtube. Je suis tombé sur un exercice dont voici l'énoncé (cf. Photos)
Donc voilà il conclut l'exercice en disant que 0e n''est pas une composante connexe bornée donc il n'existe qu'une seule composante connexe.
Mais il se trouve que dans mon cours, on me dit : Soit A une partie du plan R². On appelle trou de A toute composante connexe bornée de de R²\A.
Alors pourquoi 0e n'est pas une composante connexe bornée alors que visuellement dans le schéma il appartient bel et bien à un trou précis ? En plus 0e st exclu de l'application... Si quelqu'un pouvait m'éclairer sur cet exercice svp.
Merci d'avance pour vos réponses.
Bonsoir
En dimension finie d, il existe des compacts dont l'extérieur n'est pas connexe : il suffit pour cela de prendre K_d = la boule fermée de rayon 1 privée de la boule ouverte de rayon 0.5
Là, on est en dimension infinie, et c'est pour ça que les choses se passent différemment. On dirait sur le schéma qu'on a un vrai trou, car c'est une projection 2d, mais ce n'est pas le cas
Voici une explication intuitive : en dimension finie, si un point est dans le trou de K_d, c'est à dire dans la boule de rayon 0.5, il ne peut pas s'en échapper car il est piégé : chacune des d dimensions (ou d directions) est bloquée par le compact K_d
Mais si on construit le même ensemble K_inf en dimension infinie, un point situé dans la boule de rayon 0.5 pourra s'échapper en utilisant l'infinité de directions à sa disposition (l'infinité de dimensions), car un compact ne pourra jamais l'arrêter (la compacité étant ce qui l'en empêche)
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