Bonjour

Vous avez montré que le complémentaire de A rencontre toute boule ouverte centrée en 0.
Si A était fermé, son complémentaire serait ouvert, et...

c' est  ce et ... QUE JE N'arrive pas depuis hier à détecter

b/ traduit le fait que 0 est dans l'adhérence de A. Or 0 n'est pas dans A. Par suite A est différent de son adhérence.

qui est E ?

E=R

alors pourquoi changer de notation ?

Sur mon clavier le E est à côté du R ... un doigt qui ripe c'est vite fait.

Si A est fermée, son complémentaire est ouvert et donc ]-r,r[ A^[sup]c[/sup] est un ouvert de qui contient 0. Ce dernier contient donc une boule de rayon r' autour de 0 et par conséquent une boule de rayon pour tout r'.
Sauf que 0 est adhérent à A, car toute boule de centre 0 rencontre un 1/n, donc A.
On peut donc trouver une boule qui rencontre à la fois A et son complémentaire. Contradiction.

Contradiction car la frontière de A a quelque chose de particulier, je te laisse nous dire quoi