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Topologie des evn
bonjour de laide svp.
Soit A et B deux parties de R non vides majoréés. En utilisant la caractérisation par les suites de la bornes supérieure, démontrer que Sup(A+B)=Sup(A)+Sup(B)
je sais comment on demontre ça classiquement mais avec les suites j'ignore. on vient de voir les topologies et je le maitrise à peine. Un coup de pouce pourrait m'aider à voir l'interet des suites ici
Merci
Bonjour
d'après la caractérisation séquentielle, un majorant M de A est égal à sup(A) si il existe une suite d'éléments de A qui converge vers M
sup(A+B) = supA+ supB: pour touta∈Aetb∈Bon aa6supAetb6supBdonca+b6supA+ supB, donc supA+ supBest un majorant deA+Betcomme sup(A+B) est le plus petit des majorants deA+Balors sup(A+B)6supA+ supB. R ́eciproquement, il existe une suite (an) d' ́el ́ements deAtel quecette suite converge vers supA, de mˆeme il existe une suite (bn) d' ́el ́ements deBqui converge vers supB, la suite (an+bn) est une suite d' ́el ́ements deA+Bquiconverge vers supA+ supB, donc la borne sup ́erieure deA+Best plus grande quesupA+ supB, soit sup(A+B)>supA+ supB.
c'est bon ou.........?
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