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Topologie :distances équivalente
Bonjour chers condisciples
svp aidez moi à résoudre cet exercice
Dans R, considérons les développements décimaux illimités propres de chaque réel :
x∈R, x= x_0, x_1, x_2, …………………………, x_n y= y_0, y_1, y_2, …………………………, y_n
posons D(x,y)=〖10〗^(-p(x,y)) avec p(x,y)=inf{n∈N/x_n≠y_n }
1-Montrer que D définit une distance sur R
2- D est-elle équivalente à la distance triviale d sur R avec d(x,y)= |y-x|
On pourra utiliser |f(x)-f(y)|≤k|x-y|
merci d'avance
bonjour GBZM
Merci pour ton attention à mon exercice
- Pour la question 1 j'ai démontré les 3 propriétés àsavoir
a) D(x;y) = 0 implique x=y.
D(x,y) =0 entraine que (10 exposant (-p(x,y)))=0
c'est à dire inf{n∈N/x_n≠y_n } tend vers l'infini donc les xi=yj avec i inferieur à n
d'où x=y
b)d(x,y)=d(y,x) qui est évident
c)montrons que d(x,z)est inférieur ou égale à d(x,y)+d(y,z)
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