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topologie "élémentaire" 
Bonjour, cet exercice n'est surement pas compliqué mais je viens de commencer la topologie en espagnol (erasmus) et mon prof n'est pas très clair quant aux definitions alors je suis plutot perdue, pourriez-vous m'aidez ou m'indiquer un site complet avec des definitions assez claires?
Soit X et Y espaces topologiques, soient {Ai}, (i appartenant à I) sousensembles de X tels que X=Union des Ai, et soient fi: Ai ---> Y applications continues telles que :
pour tout i,j appartenant a I, fi restreinte a (Ai intersection Aj) = fj restreinte a la meme intersection de sous ensembles.
1/ Prouver que si tous les Ai sont ouverts ou s'ils sont tous fermés, il existe une unique application continue f : X--->Y , telle que f restreinte a Ai = fi, pour tout i appartenant a I.
2/ Trouver un exemple pour lequel f n'existe pas.
3/ Trouver un exemple dans lequel sans que les Ai soient ni tous fermés ni tous ouverts, il existe f pour toute famille {fi} i appartenant a I.
4/ Soient U et V intervalles de la droite reelle, avec {adherance(U) } \, \subset \, {V} , et soient : f : adh(U) ---> R , g : (R\V)--->R applications continues.
Prouver qu'il existe une application continue h : R--->R telle que ; h restreinte a (X\V) = g.
5/ Prouver le meme resultat si U et V sont des boules concentriques en R².
Alors pour le 1/ je pense qu'il faut construire une application f : X--->Y qui existe (pas très clair mais je sais pas trop comment l'etre plus c'est bein là le problème) avec f : a 
f(a).
a appartient a Ai car il appartient à X=Union des Ai.
f est continue car :pour tout x appartenant a X, pour tout V voisinage de f(x),f^(-1)(V) appartient à un voisinage de x.
Ensuite il faut prouver que f restreinte a Ai = fi, c'est à dire que pour tout i, j appartenant à I, fi restreinte a (Ai intersection Aj) = fj restreinte (Ai intersection Aj). Ben ça je comprends pas vraiment comment on peut faire, il commence a y avoir trop de lettres je suis perdue. :'(
Pour trouver des exemples c'est encore pire, je maitrise pas assez la topologie pour arriver a en créer c'est l'horreur.
Ayudame por favor
Muchas gracias
Merci beaucoup
Bon zalors pour le 1), la première chose à faire c'est de construire f tu n'as pas la choix si x est dans X , tu dois dire ce qu'est f(x) avant toute chose.
Or si x est dans X , tu sais x est dans A_i et tu veux f(x)=f_i(x) certes....
il faut vérifier que cette définition ne dépend pas du A_i choisit : en effet il peut y avoir plusieurs A_i qui contiennent x .
Mais si x est dans A_i et dans A_j
f(x)=f_i(x) est-il égal à f_j(x) ?
OUI c'est l'hypothèse de départ , conclusion f existe tout le temps !
Le seul soucis c'est la continuité.
lolo
Pour la continuité , il suffit de prouver que l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert.
Soit donc V ouvert de Y , qu'est que
f^(-1)(V) ?
c'est { x de X / f(x) est dans V}
c'est donc aussi { x dans un A_i / f_i(x) est dans V } = union sur i{ f_i(-1)(V)inter A_i}
or f_i est continue donc f_i(-1)(V) est ouvert dans A_i Or comme A_i est ouvert c'est aussi un ouvert de X donc ton union est ouverte , ouf ! et f est continue !
c'est quel niveau parce que "élémentaire oui mais un peu dur au début" ?
lolo
Bonsoir;
Quelques remarques utiles pour la suite:
(*)Soit
alors
(*)Lorqu'on dit que l'application cela suppose bien entendu que
est muni de la topologie induite par celle de
c'est à dire que les ouverts (respectivement fermés) de
ne sont que les traces sur
des ouverts (respectivement fermés) de
autrement dit:
Résolution de l'exercice:
1)
Unicité:
Soient et
deux applications répondant à la question et
comme
,
est dans un certain
et vu que
et
ont la m^me restriction
à
on a que
et ceci étant vrai pour tout
on a que
.
Existence et continuité:
Considérons l'application
est bien définie comme l'a bien argumenté lolo217.
(*)Supposons que tous les sont ouverts dans
:
Soit un ouvert de
on a que
étant continue,
est un ouvert de
et il existe donc
ouvert de
tel que
et on a donc que
qui est bien un ouvert de
(réunion d'ouverts).
Ce résultat n'est plus acquis si tous les sont fermés dans
:
prendre
(à suivre)
Sauf erreurs bien entendu 
Bonjour,
Merci beaucoup, hier j'etais a l'hopital mais la je m'y remets sérieusement 
Lolo, pour te répondre c'est du niveau 2eme anné de fac de maths en Espagne, mais en France on commence la topologie en 3eme année je crois.
En Espagne on a commencé en octobre mais ça va trop vite En plus on a aussi de l'Algebre lineaire, calculs de probabilités et analyse mathematiques et tout ça tous les jours!!
Au moins je serais + que prete pour faire ma 3eme anné en France
Pour le 2, il faut que je trouve un Ai ouvert et un Aj fermé pour lesquels f n'existe pas mais alors je sais pas trop qu'est-ce que je pourrais prendre
Pour le 3 si j'ai bien compris il me faut aussi un ouvert et un fermé mais cette fois pour lesquels f existe pour tout f_i. Mais comme pour le 2 je ne sais pas fabriqué des ensembles ouverts ou fermés je sais pas comment faire.
Hasta luego
A bientot
Bonjour,
La topologie en France ça dépend de la fac, parfois c'est 1 ère année, parfois 2 ième ou troisième....m'enfin tu semble avoir de la chance d'avoir tous ces cours.
Sinon f existe toujours et comme l'a écri
elhor_abdelali il y a un problème si les A_i sont fermés .
Pour le 2) je ne vois donc pas de cas où f n'existe pas et si c'est en fait "f pas continue" il y a l'exemple donné par elhor.
lolo
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