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Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3)

Posté par
mauricette
28-11-05 à 22:05

Bonjour,
J'ai un exercice de topologie,
on defini f une fct° de ]-1,1[ ds M_n(R) comme une application de classe C1

Dans une question, on nous ecrit :
"supposons que f est tracée sur le groupe orthogonal O_n(R) et verifie f(O)=Id"

Je voudrai savoir ce qu'est une fct° tracée sur le gpe orthogonal O_n(R) et ce qu'est le gpe O_n(R)

Merci d'avance

Posté par
kaiser Moderateur
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 28-11-05 à 22:21

Bonsoir mauricette

Je pense que cette phrase signifie que f est à valeurs dans On() (en tous cas, ça me paraîtrait logique).
D'ailleurs, ce groupe est l'ensemble des matrices A carrées d'ordre n telles que tAA=In.

Kaiser

Posté par
mauricette
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 28-11-05 à 22:26

Merci
et peut on savoir qqch sur tA + A sachant que A € O_n(M) ?

Je n'arrive pas à trouver de rapport ...

Dans mon exo j'ai réussi à montrer que tA - A = 0

Mais je n'arrive pas a en tirer qqch

Posté par
kaiser Moderateur
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 28-11-05 à 22:31

comment t'as démontré ça ?, je comprends pas.

Posté par
mauricette
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 28-11-05 à 22:32

euh
ben c'est d'après les données de l'exo, ya d'autre fct° et on utilise la valeur des fct° en 0

je dis pas que c'est dans le cas general, ms ds cet exo je trouve ca (je me suis pt plantée)

Posté par
mauricette
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 28-11-05 à 22:36

Je peut mettre tout l'exo :
soit f : ]-&,1[ --> M_n(R) une app de classe C1
Observons que c'est en fait une coure tracée sur M_n(R)

(i) quelle est la diff en P€M_n(R) de l'app
phi:M_n(R) --> M_n(R)
      M --> tM M
ou tM designe la tansposée de M ?
En déduire la derivée de l'app phi o f sur ]-1,1[

(ca a priori sauf erreur g reussi)

(ii) supposons que f est tracée sur le gp orthogonal O_n(R) et verifie f(O) = Id
que peut-ono dire de f'(0) € M_n(R) ?

c'est la que je bloque
(c'est la dernère question)

Posté par
mauricette
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 28-11-05 à 22:38

je trouve pr (i)
D_phi(P) = tMP + tPM + o(P)

et pr D_phi o f (h) = (tphi(x)phi(h) + tphi(h)phi(x) + o(phi(h)) ) D_phi(h)

avec x€]-1,1[

Posté par
mauricette
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 28-11-05 à 22:39

pardon
je me suis trompé :
et pr D_phi o f (h) = (tf(x)f(h) + tf(h)f(x) + o(f(h)) ) D_f(h)

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 28-11-05 à 22:43

Bonsoir;
Généralement on munit 3$M_n(\mathbb{R}) du produit scalaire 3$<A|B>=tr(^{t}AB) et on a alors 3$O_n(\mathbb{R})=\{A\in M_n(\mathbb{R})\hspace{5}/\hspace{5}^{t}AA=I_n\} et donc qu'en particulier 3$\forall A\in O_n(\mathbb{R})\hspace{5}\hspace{5}||A||=\sqrt{n} ce qui veut dire que 3$O_n(\mathbb{R}) est contenu dans la sphére de centre la matrice nulle et de rayon 3$\sqrt{n} ce qui justifie ,à mon avis,l'emploi du terme "tracée sur O_n(\mathbb{R})"

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
kaiser Moderateur
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 28-11-05 à 22:53

Pour tout t, f(t) est un élément de On()
On en déduit que pour tout t, tf(t)f(t)=In
Donc finalement, on a pour tout t (of)(t)=In

Ensuite, il faut dériver par rapport à t et prendre la valeur en 0.

ça nous donne (D)(f(0))(f'(0))=0

(lire "la différentielle de en f(0) appliquée en f'(o)")
J'ai moi-même fait les caculs et je trouve que la différentielle de en une matrice M est l'application HtMH+tHM.
En revenant à l'égalité du dessus, on a tf(0)f'(0)H+tf'(0)f(0)=0. Or f(0)=In, donc tf'(0)=-f'(0), c'est-à-dire que f'(0) est une matrice antisymétrique.

Kaiser

Posté par
mauricette
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 28-11-05 à 22:56

je te remercie
je regarderai plus en detaildemain, pke je suis un peu naze,

on trouve dc pareil non pr D_phi non ?

Merci encore
pt a demain si ya un truc que je comprend pas

Posté par
mauricette
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 12:41

Re !

Alors en fait ya un truc que je comprend pas bien,

tout ca je suis ok :

"Pour tout t, f(t) est un élément de On(R)
On en déduit que pour tout t, tf(t)f(t)=In
Donc finalement, on a pour tout t (of)(t)=In

Ensuite, il faut dériver par rapport à t et prendre la valeur en 0.

ça nous donne (D)(f(0))(f'(0))=0

(lire "la différentielle de en f(0) appliquée en f'(o)")
J'ai moi-même fait les caculs et je trouve que la différentielle de en une matrice M est l'application H |--> tMH+tHM."


Mais par contre après je comprend pas trop pk tu pose cette egalité ...
comment peut-on dire que la differencielle de phi en h est egale a la differentielle de phiof en h ?

En revenant à l'égalité du dessus, on a tf(0)f'(0)H+tf'(0)f(0)=0. Or f(0)=In, donc tf'(0)=-f'(0), c'est-à-dire que f'(0) est une matrice antisymétrique.

Sinon la phrase en gras, en fait ca vient du fait que on derive l'id ?
et dc est ce que ds ce cas, pr tt t, on aurai que la diff de phiof en h appliquer à t serai 0 ?

Posté par
mauricette
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 12:42

[b][/b](pardon erreur de frappe c la differencielle de phi en H et pas en h

Posté par
kaiser Moderateur
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 21:16

Bonsoir Liloue

Désolé, je me suis un peu emmêlé les crayons. Je recommence. En fait on écrit que (D(of))(t)(h)=(((D)(f(t)))o(Df)(t))(h).
(Je sais, c'est super moche !!!).
Remarque : h est un réel
On sait que comme f est une fonction de la variable réelle, on a ((Df)(t))(h)=hf'(t).
D'où on a (D(of))(t)(h)=(((D)(f(t)))(hf'(t))
(En fait, à gauche, il faut lire, "la différentielle de of en t appliqué à h" et à droite, il faut lire "la différentielle de en f(t) appliqué au vecteur hf'(t))
Et oui, dans l'égalité que j'avais écrite dans mon denier message, ça fait 0 car on dérive une constante)

Kaiser

Posté par
mauricette
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 21:42

liloue ?

sinon oki j'ai compris, j'essaie de refaire ca tt a l'heure (en esperant ke ce coup ci j'y arrive seule !)
Merci

Posté par
kaiser Moderateur
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 21:50

Désolé mauricette

Sur le moment,je pensais à un autre topic auquel j'avais répondu.

Posté par
mauricette
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 21:53

lol tinkiet ya pas de pb

Posté par
kaiser Moderateur
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 21:56

Posté par
mauricette
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 22:24

Bon j'arrive pas a refaire le raisonnement ...
Tu pourrais me dire ce que j'ai de faux ou que j'oublie ?

Jai calculer D_phi(H)(M) = tM H + tH M

Ensuite je calcule D_phi o f (h) (x) = [ D_phi( f(h) ) * D_f(h) ](x)
                                     = [D_phi( f(h) )][f'(h)(x)]
                                     = t[f'(h)(x)] * f(h) + t[f(h)] * [f'(h)(x)]

en x = 0, on toruve donc que
phi o f (0) = Id
donc D_phi o f (0) = O
D'où t[f'(h)(0)] * f(h) + t[f(h)] * [f'(h)(0)]

et la je comprend pas, pke je devrai avoir 0=h ...
Où est mon erreur ? :(

Posté par
kaiser Moderateur
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 22:35

En fait, je crois que tu fais une confusion. Tu confonds les rôles de h et x. Dans ta démonstration, il faudrait non pas que tu remplaces x par 0 mais h par 0.Je n'ai pas regardé tous les détails mais avec ça, je pense que ça devrait mieux marcher.

Posté par
mauricette
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 22:36

En fait le truc ce ke le x c la dessus qu'on applique la differentielle, et donc qd on fait la diff en 0, c'est h qui vaut 0 ... et x reste x ...
ds ce casje trouve
t[f'(0)(x)] * f(0) + t[f(0)] * [f'(0)(x)]
= [tf'(0) + f(0) ](x) = o
mais j'en fais quoi du x ?

Posté par
mauricette
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 22:37

oui je crcois aussi que je confons le role des deux ... va falloior que j'approndisse mon cours !

Posté par
kaiser Moderateur
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 23:04

Soit F : Up avec U ouvert de n.
On suppose que F est différentiable en x, un élément de U, alors la différentielle de F en x, notéé DF(x), est une application linéaire qui va de n et qui est à valeur dans p. h est le vecteur sur lequel s'applique cette application linéaire (avec les notations de mon dernier message).
Dans le cas qui nous intéresse, c'est x que l'on remplace par 0.

Voilà, si ça peut t'aider.

Kaiser

Posté par
mauricette
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 23:04

ouip
merci

Posté par
kaiser Moderateur
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 23:05

mais je t'en prie !

Posté par
mauricette
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 23:07

t'es en licence ou (question ki n'a ien a voir) ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 23:08

Oui, je suis en licence .

Posté par
mauricette
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 23:08

oui mais où ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 23:10

Alors, en fait, je suis auditeur libre à l'ENS Cachan.

Posté par
mauricette
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 23:11

ah oki !
j'habite pas loin, pres de sceaux

Posté par
kaiser Moderateur
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 23:12

Et sinon, ça se passe bien à l'université !

Posté par
mauricette
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 23:16

beuh bof
partiels particulièrement foirés, vive la licence Math fonda en venant de deug lol


(Je vais au dodo, a demain)

Posté par
kaiser Moderateur
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 23:17

Allez, bonne nuit.

Posté par
lolo5959
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 23:20

"vive la licence Math fonda en venant de deug"----->Ah bah, je me sens moins seule mauricette....

(Excusez-moi de m'incruster dans la conversation,mais j'étais heureuse de voir qqun qui partageait le même point de vue que moi sur la licence maths fondamentale...)

Posté par
lolo5959
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 23:22

Oups...bonjour kaiser(je me suis sortie de la topologie d'hier ,tout compris)

Posté par
kaiser Moderateur
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 23:33

Bonsoir lolo5959

je dois avouer que je ne vois pas de quoi tu veux parler (quelle topolgie ?)

Posté par
lolo5959
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 23:35

Euh, ben, ça---> Application continue dans espace vectoriel normé

où tu m'avais vachement bien aidé

Posté par
kaiser Moderateur
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 29-11-05 à 23:38

D'accord, je me souviens maintenant !

Posté par
mauricette
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 30-11-05 à 17:52

Lol, bienvenue au club  lolo5959

Posté par
lolo5959
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 30-11-05 à 18:13

Salut mauricette
Tu as pris maths fondamentales pour être prof de maths mauricette?
(Je sais, je suis curieuse, mais c'était pour savoir, paske nous on nous a presque dit que c'était obligé de prendre maths fonda si on voulait faire ce métier...)

Posté par
mauricette
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 30-11-05 à 18:23

lol
euh en fait oui je veux être prof de math,
après non c'est pas obligé de prendre math fonda pour être prof, mais c'est quasi obliger pour l'agreg.
Après pour être prof, si tu veuxx preparer le capes, licence AAG ca suffit

Posté par
lolo5959
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 30-11-05 à 18:36

OK! ben, c'est bien ce que je me doutais un peu,mais c'est vrai que je n'avais pas pensé à l'agreg dans tout ça...

Bonne continuation et bon courage pour les partiels (qui arrivent bientôt je suppose,de quoi passer de bonnes vacances de Noël( euh, de révisions )

Posté par
mauricette
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 30-11-05 à 18:37

Lol
non non, les partiels c'était en novembre pour moi
Maintenant prochaine echeance, les exam mi-janvier !
Merci bon couage a toi aussi

Posté par
lolo5959
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 30-11-05 à 18:40

En fait, pour nous, partiels=exams donc bon courage pour les \red exams

Posté par
mauricette
re : Topologie, fonction tracée sur un groupe orthogonal (L3) 30-11-05 à 18:42

ah !
oki ! merci
(personne appelle ca pareil! en droit les partiels c des exams blancs, ya de quoi s'emmeler les pinceaux lol)



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