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Topologie- L3

Posté par
BenjaminG
09-10-21 à 17:18

Bonjour !
Je fais appel à ce forum car je suis sur une question qui consiste à démontrer que la limite d'une suite de matrice inversible est une matrice inversible.
Donc, soit (An) une suite de matrices inversibles de Mp(R). On suppose :
lim An= A et lim An-1 = B
1) Montrer que A est inversible.

Merci beaucoup de votre aide !

Posté par
carpediem
re : Topologie- L3 09-10-21 à 17:36

salut

il me semble que l'ensemble des matrices inversibles est un ouvert ...

Posté par
Foxdevil
re : Topologie- L3 09-10-21 à 19:19

Bonsoir,

carpediem @ 09-10-2021 à 17:36

il me semble que l'ensemble des matrices inversibles est un ouvert ...
qui de plus est dense...

Il doit donc y avoir une erreur

Posté par
carpediem
re : Topologie- L3 09-10-21 à 19:25

Foxdevil @ 09-10-2021 à 19:19

Il doit donc y avoir une erreur
ha bon pourquoi ?

moi j'aurai dit bien au contraire !!

Posté par
Ulmiere
re : Topologie- L3 09-10-21 à 19:26

BenjaminG @ 09-10-2021 à 17:18

Bonjour !
Je fais appel à ce forum car je suis sur une question qui consiste à démontrer que la limite d'une suite de matrice inversible est une matrice inversible.
Donc, soit (An) une suite de matrices inversibles de Mp(R). On suppose :
lim An= A et lim An-1 = B
1) Montrer que A est inversible.

Merci beaucoup de votre aide !



Que sais-tu de la continuité du produit matriciel ?

Posté par
Foxdevil
re : Topologie- L3 09-10-21 à 20:05

carpediem @ 09-10-2021 à 19:25

Foxdevil @ 09-10-2021 à 19:19

Il doit donc y avoir une erreur
ha bon pourquoi ?

moi j'aurai dit bien au contraire !!
Si c'est dense dans les matrices, n'importe quelle matrice est limite d'une suite de matrices inversibles...

De plus on peut facilement construire une suite d'inversibles qui tend vers une non inversible...

Posté par
carpediem
re : Topologie- L3 09-10-21 à 20:12

ha mais oui !!

merci

Posté par
bernardo314
re : Topologie- L3 09-10-21 à 20:56

par exemple la matrice de taille  1x1   :  (1/n)   lol

Posté par
Foxdevil
re : Topologie- L3 09-10-21 à 21:49

carpediem @ 09-10-2021 à 20:12

ha mais oui !!

merci


bernardo314 @ 09-10-2021 à 20:56

par exemple la matrice de taille  1x1   :  (1/n)   lol
j'avoue que je n'avais pas pensé à si évident

Posté par
BenjaminG
re : Topologie- L3 10-10-21 à 12:39

Désolé, je ne comprends aucunes de vos réponses, je ne vois toujours quoi répondre à ma question...

Posté par
Ulmiere
re : Topologie- L3 10-10-21 à 12:50

Ulmiere @ 09-10-2021 à 19:26

BenjaminG @ 09-10-2021 à 17:18

Bonjour !
Je fais appel à ce forum car je suis sur une question qui consiste à démontrer que la limite d'une suite de matrice inversible est une matrice inversible.
Donc, soit (An) une suite de matrices inversibles de Mp(R). On suppose :
lim An= A et lim An-1 = B
1) Montrer que A est inversible.

Merci beaucoup de votre aide !



Que sais-tu de la continuité du produit matriciel ?


Tu n'as pas répondu à ma question. Quel peut bien être le lien entre mes histoires de continuité et tes histoires de limites de suites dans un espace métrique ?

Posté par
BenjaminG
re : Topologie- L3 10-10-21 à 12:58

Le produit de matrice est continu si tout les termes du produit sont des matrices inversibles ? (un derminant non nul)

Posté par
Zrun
re : Topologie- L3 10-10-21 à 13:07

Foxdevil @ 09-10-2021 à 19:19

Bonsoir,

carpediem @ 09-10-2021 à 17:36

il me semble que l'ensemble des matrices inversibles est un ouvert ...
qui de plus est dense...

Il doit donc y avoir une erreur


Il n'y aucune erreur dans l'énoncé , puisqu'ici on a des hypothèses de convergence en plus

Posté par
Ulmiere
re : Topologie- L3 10-10-21 à 13:39

BenjaminG @ 10-10-2021 à 12:58

Le produit de matrice est continu si tout les termes du produit sont des matrices inversibles ? (un derminant non nul)


Le produit est continu tout court, sans aucune condition. En dimension finie toutes les normes sont équivalentes et la preuve est la même que pour les suites réelles.

\begin{array}{lcl}
 \\ \lVert A_nB_n - AB\rVert &=& \lVert (A_n-A)B_n - A(B-B_n)\rVert\\
 \\ &\leqslant& \lVert (A_n-A)B_n\rVert + \lVert A(B-B_n)\rVert
 \\ \end{array}

et comme on est dans une algèbre de Banach, la norme du produit est inférieure au produit des normes, on passe à la limite et elle vaut zéro blablabla


Maintenant en utilisant ce résultat pour le produit à droite et l eproduit à gauche tu dois être capable de traiter les deux questions en même temps.

Posté par
Foxdevil
re : Topologie- L3 10-10-21 à 23:44

Zrun @ 10-10-2021 à 13:07

Foxdevil @ 09-10-2021 à 19:19

Bonsoir,

carpediem @ 09-10-2021 à 17:36

il me semble que l'ensemble des matrices inversibles est un ouvert ...
qui de plus est dense...

Il doit donc y avoir une erreur


Il n'y aucune erreur dans l'énoncé , puisqu'ici on a des hypothèses de convergence en plus
Ok, j'avais mal compris cette partie. Je croyais que c'était le début de son raisonnement



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