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Topologie ouvert ferme
Bonjour,
Je dois résoudre un exercice en représentant géométriquement des ensembles (pas de problème pour cela), mais je dois dire s'ils sont ouvert, fermé, borné, compact et ça je ne comprends pas comment faire.
D = {(x,y)∈R^2|y−1≥−x^2}
E= {(x,y)∈R2|1>x−y}
Je dois le faire pour les 2 équations ci-dessus, si vous pouviez m'aider, merci beaucoup.
Bonjour Jaccobb,
tu dois avoir quelque chose dans ton cours sur les images réciproques d'ouverts/fermés par des applications continues, et comme on est dans de dimension finie, les compacts sont les fermés-bornés. A toi de jouer
Salut,
Justement je ne trouve rien parlant des images réciproques, j'aurai juste besoin d'un exemple quelconque me permettant de résoudre ces exercices par la suite.
Je ne comprends pas cette notion d'image réciproque.
Tu veux dire que tu n'as jamais vu cette notion ?
Soit une application et
. On appelle image réciproque de B par f l'ensemble :
Tu as fait les espaces topologies en général ou tu fais juste les espaces métriques ?
Cette notion ne me parle absolument pas, mais je suppose que je dois en avoir besoin pour prouver que les D et E sont des ouverts et fermé n'est-ce pas ?
Disons que c'est vraiment le moyen le plus rapide, en 2s c'est expédié. Le résultat dont je te parle est le suivant (en prenant les bons espaces topologiques que je précise pas) :
f est une fonction continue ssi l'image réciproque de tout ouvert (resp. fermé) est un ouvert (resp. fermé)
Sinon il faut tout faire à la main... pour montrer que c'est un ouvert (d'ailleurs par rapport à quelle topologie, tu ne m'as pas répondu ! je suppose que c'est donc dans l'espace métrique R^2 muni de la dist. euclidienne), tu prends un point de ton ensemble et tu montres qu'il existe une boule de rayon strictement positif inclus dans celui-ci ; pour montrer que c'est fermé, tu peux utiliser les suites ou alors tu montres que l'adhérence de ton ensemble est inclus dans ton ensemble.
ou alors tu montres que l'adhérence de ton ensemble est inclus dans ton ensemble
en sachant qu'un point est adhérent à ton ensemble si tout voisinage de ce dernier intersecte ton ensemble
Je vais devoir m'absenter, je reviens vers 18h (ou pas...).
Bon courage, va voir le résultat dont je te parle, il est toujours utilisé.
Bonne journée.
f est une fonction continue ssi l'image réciproque de tout ouvert (resp. fermé) est un ouvert (resp. fermé)
Bonjour
Dans la meme directon suggeree par KernelPanic, considerer les fonctions
f, g : R*R --> R
f(x,y) = -x2 - y + 1
g(x,y) = x - y - 1
Bonjour !
D'accord mais ensuite je suis censé résoudre quoi exactement avec les fonctions que vous m'avez donné.
Encore Merci
Très bien merci, mais au niveau de la rédaction, prenons l'exemple pour D.
Je dis que je pose f(x,y) = -x^2 - y + 1, ensuite je démontre qu'elle est continue. Mais je ne comprends d'où sort :"D = {(x,y)∈R^2|f(x,y)<=0} = f-1(]-oo, 0])" et en quoi cela m'aide t-il à prouver que D est fermé ?
Merci beaucoup.
y−1≥−x^2 <=> -x^2 - y + 1 <= 0
f(x,y) <= 0 <=> f(x,y) ∈ ]-oo, 0]
]-oo, 0] est ferme et f est continue
D'accord merci et du coup je dois appliquer la même logique à E ?
Donc ça me fait 0> x-y-1 ? Cela parait étrange non ?
Donc après j'aurai :
g(x,y) < 0 <=> f(x,y) ∈ ]-oo, 0[
on sait que ]-oo, 0[ est ouvert et que g est continue
Donc après j'aurai :
g(x,y) < 0 <=> g(x,y) ∈ ]-oo, 0[
on sait que ]-oo, 0[ est ouvert et que g est continue
Il restera juste a preciser:
- que dans la topologie usuelle de R2, seuls le vide et R2 sont a la fois ouverts et fermes.
- Et que D et E sont tous les 2 non bornes et a fortiori non compacts.
Rebonsoir, je vois que kongzi a bien continué. Je réponds une dernière fois et je le laisse finir le post.
Non ce n'est pas pour cette raison, par exemple pour la fonction inverse , on a que
, y a bien un infini mais c'est borné. Déjà tu peux voir que ça ne l'est pas par tes dessins, sinon tu appliques la définition en disant que pour toute constante M, tu peux trouver un point de distance à 0 plus grand que M (y a d'autres manières de le prouver mais là ça marche je crois, à adapter sinon).
Ce que te suggère kongzi est optimal notamment sur la partie ouverts-fermés, mais si tu n'as pas vu la notion de connexité je sais pas trop comment amorcer ça, le plus simple étant d'utiliser la convexité et donc la connexité par arcs.
Dernière question, et attention ne te méprends pas il n'y a aucun jugement, je demande juste ça si on doit t'aider pour les prochaines fois, quelles études poursuis-tu et dans quel pays ? Je suis surpris que tu fasses de la topologie sans connaître la notion d'image réciproque d'une partie par une fonction.
Merci pour ta réponse,
Ne t'en fais pas pour ta question cela ne me dérange pas du tout, est-ce que vous m'aiderez la prochaine fois ? Peut-être bien sur ce chapitre ou un autre qui sait, je ne suis pas dans une filière axée exclusivement sur les mathématiques (pour répondre de manière vague à ta question...) cela est peut-être une notion triviale de la topologie et qu'on la verra par la suite, nous ne sommes qu'au début de ce chapitre...
Encore merci à vous tous, je vous souhaite une excellente journée à tous.
D'accord donc D et E sont non bornés à cause de la présence de -oo n'est-ce pas ?
L'image d'un compact par une fonction continue entre 2 espaces topologiques quelconques est compacte
Et dans R*R un borne B est forcement inclus dans un compact C (par exemple une boule de dimension 2 cad un disque)
Imf(B) est incluse Imf(C) qui est bornee. Donc Imf(B) est bornee.
******************
Noter que l inverse n est pas vraie:
exemple :
h: R*R --> R
h(x,y)= 1/(x2+y2 + 1)
h est continue et
h-1(]0,1]) =R*R non borne
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