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Topologie OuvertFerméCompact
Bonjour,
Pour chacune des proposition suivantes dire si elles sont vraies ou fausses. Donner alors une démonstration ou bien un contre-exemple.
1. La boule ouverte de
n est un ouvert.
2. Il existe des ensembles qui sont à la fois ouverts et fermés.
3. Il existe des ensembles qui ne sont ni ouverts ni fermés.
4. Une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert.
5. Une réunion finie de fermés est un fermé.
6. La réunion d'un ouvert et d'un fermé est un fermé.
7. Un ensemble de 2 inclus dans un pavé [−M, M] × [−M, M] est compact.
J'ai répondu à toutes les questions sauf la 6ème et la 7ème pour lesquelles je ne saurais répondre.
En vous remerciant à tous 
Bonsoir
pour la 6), tu peux fabriquer facilement un contre-exemple dans R
pour la 7), les compacts de R^2 sont les fermés bornés
Bonsoir,
6) est faux, prends un fermé A strictement inclus dans un ouvert B, alors A 
B = B et B est ouvert.
7) est faux, le pavé [−M, M] × [−M, M] est compact, mais le pavé inclus ]-M/2,M/2[ x ]-M/2,M/2[ est ouvert.
Bonsoir Zormuche Bonsoir LeHibou
6) Oui en effet, en prenant A=[1,2] et B=]0,3[ AB = ]0,3[ est un ouvert. ( il faut pas que je me perde entre le fait de montrer qu'un énoncé est vrai, dans quel cas il faut le montrer de facon générale et montrer qu'un énoncé est faux, dans quel cas un contre exemple suffit à le démonter.
7) Oui ]-M/2,M/2[ x ]-M/2,M/2[ étant ouvert, il n'est donc pas compact.
D'ailleurs dans les définitions
A
n
puisque A Compacte 
A Fermé et Borné
est il possible que A possède une suite convergente dans E mais pas dans A, d'après la définition de la compacité ( ca ne devrait pas pas poser de problème)
mais si c'est le cas A ne peut pas être fermé puisque : toute suite convergente dans E converge dans A
ou bien cela n'est tout simplement pas possible
6) mon souci c'est qu'étant qu'il existe des ensembles qui sont à la fois ouvert et fermés comme l'espace E et l'ensemble vide 
, en quoi le fait de donner un exemple de réunion d'un ouvert et d'un fermé qui est un ouvert montre qu'il ne peut pas y avoir de réunion d'un ouvert et d'un fermé qui soit un fermé ?
est il possible que A possède une suite convergente dans E mais pas dans A, d'après la définition de la compacité ( ca ne devrait pas pas poser de problème)
mais si c'est le cas A ne peut pas être fermé puisque : toute suite convergente dans E converge dans A
Je ne suis pas certain e bien comprendre ta question :
Si tu as une suite convergente dans un compact, alors sa limite appartient au compact.
en quoi le fait de donner un exemple de réunion d'un ouvert et d'un fermé qui est un ouvert montre qu'il ne peut pas y avoir de réunion d'un ouvert et d'un fermé qui soit un fermé ?
Ici, l'énoncé 6) est faux
on a aussi la possibilité d'avoir
mais pour montrer que 6) est faux, on veut juste montrer que
c'est pour ça qu'on dit souvent que pour montrer qu'un énoncé est faux, il suffit de donner un contre-exemple : c'est parce que le contraire de "pour tout", c'est "il existe"
c'est pour ça qu'on dit souvent que pour montrer qu'un énoncé est faux, il suffit de donner un contre-exemple : c'est parce que le contraire de "pour tout", c'est "il existe"
Exactement ! D'ailleurs l'énoncé le précisait bien :
Donner alors une démonstration ou bien un contre-exemple.
oui
je voulais simplement dire qu'il y a soit un sous entendu dans l'énoncé à la fin
La réunion d'un ouvert et d'un fermé est un fermé qui n'est pas un ouvert
dans quel cas il nous suffit de trouver une réunion qui est un ouvert
Soit il n'y a pas de sous entendu et il nous faut trouver une reunion qui n'est pas un fermé ou encore une reunion qui est un ouvert pas fermé.
Car ouvert et fermé peuvent cohabiter ( mais bon en vrai c'est exceptionnel)
contrairement à et \
qui ne peuvent pas cohabiter
Bonjour,
Je pense que l'énoncé est fautif, parce qu'il ne précise pas clairement les quantifications. Il aurait fallu écrire :
1. Toute boule ouverte ....
2. Il existe des sous-ensembles ...
3. Il existe des sous-ensembles ...
4. Toute réunion quelconque d'ouverts ...
5. Toute réunion finie de fermés ...
6. Toute réunion d'un ouvert et d'un fermé ...
7. Tout sous-ensemble de ...
Beaucoup vont trouver que j'exagère, mais je constate que la négligence dans l'usage des quantificateurs conduit souvent à une confusion complète dans les raisonnements.
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