On définit dans l'ensemble \{(0,0)} la relation :

(a,b)$(c,d) , (a,b) = (c,d)

de plus on écrit :
[a,b] = (a,b)$ = {(a,b) / 0}

1/Prouver que $ est une relation d'égalité.

Il me semble qu'ils entendent par là relation d'équivalence, j'ai donc vérifié la transitivié, la reflexivité et la symétrie. C'est long donc je vais pas tout écrire mais je penses que pour cette question c'est bon!

2/On definit les correspondances:

f₁,f₂ : ²/$ ,
f₁(x) = [x,1]
f₂(x) = [1,x]

Prouver f₁,f₂ sont des applications injectives et que ²/$ = Im(f₁)Im(f₂).


Pour l'injectivité pas de problème il suffit d'appliquer la définition.

Par contre pour l'egalité de l'ensemble quotient j'arrive pas
Je sais que :
Im(f₁) = f₁()
f₁ est injective f^-1(f(A))=A

et j'ai un peu du mal a voir ce qu'est ²/$, en appliquant les definitions je dirais :

²/$ = { C_(a,b), (a,b)²}
                   = {{(c,d)² / (a,b)$(c,d))}, (a,b)²}

Et je sais pas trop quoi en faire!!

3/ Prouver que la topologie quotient de ²/$ est la topologie finale de {f₁,f₂}.

Alors là ça se complique parceque j'ai pas compris topologie finale et initiale!!

4/On considere la circonference de centre l'origine et de rayon 1 en ² avec la topologie de sous-espace, S¹, et on définit l'application :

f : S¹²/$
f(a,b) = [a,b]

Prouver que c'est une application quotient:?, et rechercher quelle est la relation * sur S¹, tel que S¹/* est homeomorphe à ²/$.

Quelques pistes ou quelques définitions m'aiderais bien!

5/ Prouver que S¹/* est homeomorphe à S¹.


Aidez-moi s'il vous plait il faut vraiment que le le rende entier pour une fois!


Merci d'avance