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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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topologie séparée

Posté par
Nyadis
01-08-21 à 17:54

Bonjour à tous!  Merci de jeter un coup d'œil à ma préoccupation.

Soit  X et Y deux espaces topologique.
Soit f une application continue de X vers Y.  On suppose que f est une application ouverte.
On veut montrer que si X est séparé , alors f(X) l'est également. (Séparé au sens hausdorff)

Soit donc x,y  distinct dans f(X) alors je peux trouver a et b dans X telle que x=f(a) et y=f(b) et ensuite j'utilise le fait que X soit séparé pour avoir deux voisinage l'un de a et l'autre de b telle que U∩V=∅ et donc f(U∩V)=∅ . mon problème est que cette facon d'aborder la situation ne me permet pas de conclure sur f(U)∩f(V)=∅.

Posté par
matheuxmatou
re : topologie séparée 01-08-21 à 18:02

bonjour

c'est un peu loin pour moi et je vais peut-être dire une bêtise, mais est-ce que

f(U) \cap \bar{f(V)}

et

f(V) \cap \bar{f(U)}

ne fournissent pas deux ouverts disjoints contenant respectivement f(a) et f(b) ?

Posté par
GBZM
re : topologie séparée 01-08-21 à 18:21

Bonjour,

Voyons....

Posons X=\R avec sa topologie usuelle.
Posons Y=\{s,g\} avec la topologie \{\emptyset, \{g\},Y\}.
Soit f : X\to Y défini par f(0)=s et f(x)=g pour tout x\neq 0 ...

Posté par
matheuxmatou
re : topologie séparée 01-08-21 à 18:28

donc c'est bien cela, j'ai dit une bêtise !

ben oui, je suis c** ... on peut avoir f(U)=f(V)...

et même tout simplement f(a) est à la fois dans f(U) et dans f(V)

merci GBZM

je confirme que tout cela est bien loin ! je ne me serais peut-être pas fait avoir il y a 40 ans

Posté par
matheuxmatou
re : topologie séparée 01-08-21 à 18:37

Nyadis

as-tu bien donné toutes les hypothèses du problème ?

f ne serait-elle pas injective ?

Posté par
Nyadis
re : topologie séparée 01-08-21 à 19:08

matheuxmatou @ 01-08-2021 à 18:37

Nyadis

as-tu bien donné toutes les hypothèses du problème ?

f ne serait-elle pas injective ?


non pas du tout. juste continue et ouverte

Posté par
Nyadis
re : topologie séparée 01-08-21 à 19:14

j'ai pensé à contourner la difficulté en faisant un raisonnement par l'absurde mais je bloque toujours !

Posté par
GBZM
re : topologie séparée 01-08-21 à 19:42

As-tu au moins essayé l'exemple que j'ai donné ?

Est-ce que dans cet exemple X est séparé ?
Est-ce que dans cet exemple Y est séparé ?
Est-ce que dans cet exemple f est continue ?
Est-ce que dans cet exemple f est ouverte ?

Posté par
Nyadis
re : topologie séparée 01-08-21 à 20:03

GBZM @ 01-08-2021 à 19:42

As-tu au moins essayé l'exemple que j'ai donné ?

Est-ce que dans cet exemple X est séparé ?
Est-ce que dans cet exemple Y est séparé ?
Est-ce que dans cet exemple f est continue ?
Est-ce que dans cet exemple f est ouverte ?


Oui je l'ai regardé mais je ne vois pas comment cela répond à ma préoccupation.

Déjà je pense que Y n'est pas séparé par ce que s et g n'ont pas de voisinage disjoints.
X est bien séparé
f n'est pas continue en particulier en 0.
f est ouverte pour finir

Posté par
GBZM
re : topologie séparée 01-08-21 à 21:00

Peux-tu expliquer, pourquoi, selon toi, f n'est pas continue en 0 ?
Ne vois-tu aucun rapport entre ton énoncé et l'exemple que je propose ?

Posté par
Nyadis
re : topologie séparée 01-08-21 à 21:18

GBZM @ 01-08-2021 à 21:00

Peux-tu expliquer, pourquoi, selon toi, f n'est pas continue en 0 ?
Ne vois-tu aucun rapport entre ton énoncé et l'exemple que je propose ?


Je pense à la définition de la continuité entre espace topologique.
Je me donne un voisinage de f(0)=s d'après la topologie sur Y ce voisinage n'est rien d'autre que Y lui même.  La continuité voudrais que je puisse trouver un voisinage de 0 dans R donc l'image par f soit contenu dans Y ........oups . ...Désolé vous avez bien raison j'avais commis une erreur d'analyse sans doute.  f est bien continue en 0 et partout d'ailleurs.

Donc j'ai une application f qui est continue entre deux espaces topologique X et Y. J'ai f(X)=Y  , X est séparé et Y non et pourtant f est ouverte .
Merci maintenant je vois !
C'est une preuve que les hypothèses ne sont pas aux complets



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