Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup TopologieTopics traitant de topologie [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Topologie > Sphère unité compacte
Posté par Nightmare
Bonsoir à tous 
En cette heure tardive, je me suis confronté à un exercice de topologie plutôt sympathique :
Citation :
Montrer que la boule unité d'un evn de dimension infinie ne peut pas être compacte
Montrer que la boule unité d'un evn de dimension infinie ne peut pas être compacte
Bon ce fût laborieux mais ça se montre bien.
Cependant il m'est alors venue une question dont je n'arrive pas à apporter de preuve pour le moment :
Citation :
Supposons que la sphère unité d'un evn soit compacte. Peut-on dire alors que ce dernier est de dimension finie ?
Supposons que la sphère unité d'un evn soit compacte. Peut-on dire alors que ce dernier est de dimension finie ?
A priori je dirais que oui.
Mon idée serait dans un premier temps de démontrer la compacité de
Je pense pouvoir m'en sortir avec Bolzano-Weierstrass, cependant, ceci étant prouvé, j'ai un peu de mal à conclure.
Si vous aviez des idées...
Merci
Bonjour Jord
Citation :
citation :
Montrer que la boule unité d'un evn de dimension finie ne peut pas être compacte
citation :
Montrer que la boule unité d'un evn de dimension finie ne peut pas être compacte
Ce n'est pas plutôt dimension infinie (Théorème de Riesz)?
Re
En fait j'ai trouvé.
Une fois avoir montré la compacité de mon ensemble, je considère une suite sur la boule unité.
Si 0 est valeur d'adhérence c'est bon, sinon il existe un y et un rang n à partir du quel la norme de notre suite est dans [y,1]. L'ensemble considéré plus haut étant compact, la suite admet bien une valeur d'adhérence. On en déduit que la boule unité est compacte et donc d'après la contrapposée de ce que j'ai montré en premier, l'evn est de dimension finie.
Annuler
connectez vous
topologie en post-bac