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Topologie sur un espace vectoriel normé donné

Posté par
amage 16-07-20 à 00:18

Bonjour et merci déjà pour l'attention accordée à mon message.
Exercice : Soient (E, N) un espace vectoriel normé et E' un sous-espace vectoriel de E.
1. Montrer que l'adhérence  \bar{E'} de E' est aussi un sous-espace vectoriel de E.
2. Étant donnés a E et A E, la distance de a à A est définie par d (a, A) = inf{d (a, x), x A}. Si en plus, A est bornée, le diamètre de A est défini par δ (A) = sup{(d (x, y)), x, y A}
(a) On suppose A fermée. Montrer que a A d (a, A) = 0. Qu'en déduire pour a A ?
(b) Pour toute partie A quelconque de E, peut-on dire que d (a, A) = 0 a A ? Si non, donner un contre-exemple pour E = ².
(c) Montrer que si A est compact, alors il existe a, b A tels que δ(A) = d (a, b)

Posté par
amagere : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 16-07-20 à 00:35

Pour mon travail,
1) Pas de difficultés à ce niveau.
2)
a)Voici ce que j'ai fais même si je doute un peu par ce que je n'ai pas utilisé l'hypothèse de départ qui stipulais que A est fermée :
Montrons que a A d(a , A) = 0
*Si a A, alors pour x = a, d(a,x) = d(a,a) = 0; or, x A,
d(a,x) 0 d(a,a) d'où :
x A, d(a , A) = inf{d(a , x), x A} = min{ d(a,x), x A} = d(a,a) = 0.

*Supposons que d(a,A) = 0 et montrons que a A :
Si d(a , A) = 0, alors : inf{d(a,x), xA} =0 et en posant :
inf{d(a,x) , xA} = d(a,xo) avec xo A, on a :
d(a,xo) = 0 a = xo(Par définition de d(a,x))
d'où xo = a A et donc aA.
Et en conclusion, aA d(a,A) = 0.
b) et c) Je bloque complètement.

Posté par
lionel52re : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 16-07-20 à 00:56

Hello !
a) Tu as écrit :  inf{d(a , x), x A} = min{ d(a,x), x A} : c'est faux, car tu ne sais pas si l'infimum est atteint (la b te donne un cas où il n'est justement pas atteint)

Tu n'as pas forcément un x0 tel que d(a,x0) = d(a,A).
Passe par les suites, il existe xn tel que d(a,xn) -> inf(d(a,x), x € A)


b) Si tu prends dans R² (1,0) et A = ]0,1[ =  {(x,0) avec 0 < x < 1 }
c) Il existe une suite dn = d(an,bn) qui tend vers d(A). Ensuite comme A est compact tu peux extraire une suite pour an puis pour bn etc.

Posté par
lionel52re : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 16-07-20 à 00:58

Pardon pour la a) faut passer par les suites d'une autre manière :
Pour tout n il existe xn tel que d(a,xn) < 1/n (à montrer)
Puis tu conclus

Posté par
amagere : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 17-07-20 à 23:13

lionel52 @ 16-07-2020 à 00:56

Hello !
a) Tu as écrit :  inf{d(a , x), x A} = min{ d(a,x), x A} : c'est faux, car tu ne sais pas si l'infimum est atteint (la b te donne un cas où il n'est justement pas atteint)

Tu n'as pas forcément un x0 tel que d(a,x0) = d(a,A).
Passe par les suites, il existe xn tel que d(a,xn) -> inf(d(a,x), x € A)


b) Si tu prends dans R² (1,0) et A = ]0,1[ =  {(x,0) avec 0 < x < 1 }
c) Il existe une suite dn = d(an,bn) qui tend vers d(A). Ensuite comme A est compact tu peux extraire une suite pour an puis pour bn etc.

S'il vous plait pourquoi il n'existe pas forcément un x0 tel que d(a , x0) = d(a , A) mais pour tout n il existe xn tel que d(a , xn) < 1/n  ?

Posté par
amagere : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 17-07-20 à 23:16

Aussi, si ce n'est pas trop vous demander, je viens d'aborder ce chapitre et plus généralement la topologie et j'aimerais s'il vous plait savoir pourquoi dans certains cas on travaille avec des suites, quels est l'intérêt de cette approche et éventuellement quand est ce qu'il est conseillé de travailler avec des suites.

Posté par
amagere : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 17-07-20 à 23:17

lionel52 @ 16-07-2020 à 00:58

Pardon pour la a) faut passer par les suites d'une autre manière :
Pour tout n il existe xn tel que d(a,xn) < 1/n (à montrer)
Puis tu conclus

J'ai beau essayer mais je n'y arrive pas.

Posté par
mousse42re : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 18-07-20 à 02:05

Salut

Citation :
(a) On suppose A fermée. Montrer que a \in A\iff d (a, A) = 0. Qu'en déduire pour  a\not \in A ?


Il me semble que l'implication \implies est triviale, l'hypothèse A fermé est inutile

Pour l'autre implication, on utilise un raisonnement par contraposée et on utilise l'hypothèse que A est fermé.

Si a\not \in A, puisque A est un fermé, on déduit que a est un élément de l'ouvert A^c, il existe une boule ouverte B(a,r)\subset A^c, donc d(a,A)>r

Posté par
carpediemre : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 18-07-20 à 09:40

salut

on travaille avec des suites parce que la définition de distance d'un point à un ensemble fait intervenir la notion de borne inférieure !!!

d(a, A) = inf {d(a, x) / x A}

donc par définition de la borne inférieure pour tout e > 0 il existe y A tel que d(a, y) < d(a, A) + e

donc naturellement il apparaît des suites car on choisit naturellement le pus simple : on prend e = 1/n et donc on créer la suites e = 1/n --> y = y(n)


le raisonnement est direct dans l'autre sens :

il existe une suite y(n) telle que d(a, y(n)) < d(a, A) + 1/n
si d(a, A) = 0 alors y(n) --> a

donc que peut-on dire de a ? (penser à la question 1/)

Posté par
mousse42re : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 18-07-20 à 10:01

Bonjour
pas obligé carpediem

\forall z\in A, z\not \in B(x,r)=\{y\in E, d(a,y)<r\}\subset A^c, donc d(a,z)\ge r,\forall z\in A donc d(a,A)\ge r

Posté par
mousse42re : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 18-07-20 à 10:17

le raisonnement direct est immédiat

On sait que 0 est un minorant de  \{d(a,z),z\in A\}

d(a,a)\in \{d(a,z),z\in A\} puisque a\in A donc d(a,A)=0 \\

Posté par
mousse42re : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 18-07-20 à 10:28

une petite correction

mousse42 @ 18-07-2020 à 10:01

Bonjour
pas obligé carpediem

\forall z\in A, z\not \in B(\textcolor {\red} {a},r)=\{y\in E, d(a,y)<r\}\subset A^c, donc d(a,z)\ge r,\forall z\in A donc d(a,A)\ge r

Posté par
mousse42re : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 19-07-20 à 01:17

amage @ 17-07-2020 à 23:16

Aussi, si ce n'est pas trop vous demander, je viens d'aborder ce chapitre et plus généralement la topologie et j'aimerais s'il vous plait savoir pourquoi dans certains cas on travaille avec des suites, quels est l'intérêt de cette approche et éventuellement quand est ce qu'il est conseillé de travailler avec des suites.


Dans un cas une méthode peut être plus simple qu'une autre, dans un autre ce sera l'inverse.

En utilisant les suites

On a A fermé et on veut montrer que d(a,A)=0\implies a\in A

Soit a\in E, et on suppose que d(a,A)=0,par conséquent pour tout \varepsilon>0, on a B(a,\varepsilon) \cap A\ne \varnothing

Avec cette proposition on va construire une suite (x_n)\subset A

\forall n\in \N, $ il existe $ x_n\in B(a,1/n) \cap A d'où (x_n)

Puisque \forall n\in \N,\;0\le d(a,x_n)<\dfrac{1}{n} par passage à la limite on a d(a,x_n)\to 0 , i.e. x_n\to a puisque A est fermé il s'ensuit que a\in A

Si a \not\in A (on garde l'hypothèse d(a,A)=0 et la suite construite qui converge vers a), on aurait a\in A^c un ouvert et donc l'existence d'une boule ouverte centrée sur a que l'on note B(a,r)\subset A^c et donc   un p\in \N tel que \dfrac{1}{p}<r ainsi B(a,1/p)\subset A^c,   dit autrement  B(a,1/p)\cap A=\varnothing, or (x_n) converge vers a contradiction d'où a\in A

ça c'était pour te convaincre que a ne peut être que dans A

Posté par
carpediemre : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 19-07-20 à 09:03

oui mais c'est inutile de poser artificiellement que a A puisque la démo nous demande le contraire ...

c'est un faux raisonnement par l'absurde puisqu'un raisonnement direct convient

lorsqu'on arrive à x_n --> a on en déduit que a \in \bar A (lien avec 1/) et pour l'instant on a rien supposer sur A

et (maintenant on utilise 'information sur A) puisque A est fermé A = \bar A donc a \in A ...

Posté par
mousse42re : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 19-07-20 à 09:12

oui tout à fait,cependant  j'ai insisté pour montrer que  si A est fermé  toutes suites (x_n)\subset A qui converge vers a \in E alors a\in A

Donc à partir de x\not \in A , le raisonnement n'est absolument pas nécessaire, et la preuve se termine juste avant. C'était juste pour illustrer mon propos.

Posté par
amagere : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 20-07-20 à 16:15

Merci @mousse42 et @carpediempour toutes vos explications grâces auxquelles j'ai pu encore plus comprendre l'exercice et certaines propriétés du cours. Tout est bien compris à présent; encore merci beaucoup.

Posté par
amagere : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 20-07-20 à 16:28

Pour la question 2.b) Je pense qu'on ne peut pas dire que pour toute partie A quelconque de E, d (a, A) = 0 a A car si A est un ouvert, cela ne sera plus vrai.
Quand au contre-exemple, je suis bloqué.

Posté par
carpediemre : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 20-07-20 à 16:56

dans R^2 : A = {(x, y)  /  y > |x|} et a = (0, 0)

Posté par
amagere : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 23-07-20 à 11:37

carpediem @ 20-07-2020 à 16:56

dans R^2 : A = {(x, y)  /  y > |x|} et a = (0, 0)

Bonjour,
J'ai essayé de montrer avec cet ensemble que, d(a,A) = 0 et a n'appartient à A; mais je n'arrive pas à montrer que d(a,A) = 0

Posté par
mousse42re : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 23-07-20 à 12:34

Salut,

Tu construis une suite ((x_n,y_n))_{n\in \N}\subset A telle que (x_n,y_n)\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow}(0,0)

Posté par
mousse42re : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 23-07-20 à 12:45

et essaie toujours de trouver une solution minimaliste

Posté par
malou Webmasterre : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 23-07-20 à 15:41

amage, bonjour
tu viens de lever ton avertissement de multicompte sans avoir pris la peine de fermer ton autre compte
tu dois le fermer si tu veux retrouver la possibilité de poster sur l'
Merci

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q29 - Avoir plusieurs comptes est-il autorisé ?



attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q30 - J'ai été averti ou banni, pourquoi, et que faire ?

Posté par
amagere : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 23-07-20 à 18:41

*malou>citation inutile supprimée*
malou, bonjour !
Je vous présente toutes mes excuses pour mon compte et je vous promet que cela ne se reproduira plus à l'avenir.
Je tiens également à vous remercié de m'avoir permis d'envoyer des messages à nouveau sur le forum.

Posté par
malou Webmasterre : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 23-07-20 à 18:43

OK.
Franchement quel intérêt d'employer des chemins détournés pour ouvrir un 2e compte alors que tu as le droit de poster toutes les questions que tu veux avec un compte ? Il y a quelque chose qui m'échappe là ...

Posté par
amagere : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 23-07-20 à 18:46

mousse42 @ 23-07-2020 à 12:34

Salut,

Tu construis une suite ((x_n,y_n))_{n\in \N}\subset A telle que (x_n,y_n)\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow}(0,0)

J'ai essayé de construire en prenant ((Xn,Yn))n = (-1/(n+1) , 1/n)
et dans ce cas, on a bien Yn > |Xn| et donc ((Xn,Yn))n avec (Xn,Yn) (0,0) lorsque n +

Posté par
mousse42re : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 23-07-20 à 19:07

oui, tu as fait ce qu'on t'a dit, maintenant il faut rédiger correctement .

tu dois réfuter cette proposition

(\forall A\subset E) (d(a, A) = 0 \implies a\in A)

Ce qui revient à prouver sa négation

(\exists A \subset E)(d(a,A)=0)(a\notin A)


Je te laisse rédiger correctement

Pour info, je te donne  une caractérisation de la borne inférieure
On a \inf A=\alpha si et seulement si

1\;(\forall z\in A)(\alpha \le z)

2\;(\exists (x_n)\subset  A)(\lim x_n=\alpha)

Bon courage

Posté par
mousse42re : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 23-07-20 à 19:16

attention l'ensemble A donné dans la caractérisation de la borne inférieure n'est pas l'ensemble A inital qui est une partie de \R^2. J'aurais dû l'appeler autrement.

Notons le B=\{d(a,x):\;x\in A\} avec A=\{(x,y)\in \R^2 : |x|<y\}


Caractérisation de la borne inférieure

On a \inf B=\alpha si et seulement si

1\;(\forall z\in B)(\alpha \le z)

2\;(\exists (x_n)\subset  B)(\lim x_n=\alpha)


Bon courage

Posté par
amagere : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 23-07-20 à 19:28

malou @ 23-07-2020 à 18:43

OK.
Franchement quel intérêt d'employer des chemins détournés pour ouvrir un 2e compte alors que tu as le droit de poster toutes les questions que tu veux avec un compte ? Il y a quelque chose qui m'échappe là ...

En réalité, il ne s'agisait pas vraiment de mon compte mais celui d'un ami qui l'as crée ce matin via ma machine et a ensuite posté son premier message.

Posté par
amagere : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 23-07-20 à 19:29

Merci @mousse42 pour le reste je vais bien faire la rédaction.

Posté par
mousse42re : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 23-07-20 à 19:33

ok, sinon la suite a_n=(x_n,y_n)=\left(0, \dfrac{1}{n}\right) convient parfaitement, et pour tout n\in \N, on a bien a_n\in A

Posté par
amagere : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 23-07-20 à 19:33

Aussi, j'aimerais avoir s'il vous plait quelques de vos indications sur la dernière question.
J'ai essayé d'utiliser le fait que si A est compacte, alors de toute suite d'éléments de A, l'on peut extraire une sous suite qui soit convergente et qui converge vers un élément de A et ensuite introduire une suite et utiliser la caractérisation de la borne supérieure avec des suites mais je ne sais pas comment utiliser tout cela pour prouver l'existence du max de (A) qui serait égal à d(a,b)

Posté par
amagere : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 23-07-20 à 19:35

mousse42 @ 23-07-2020 à 19:33

ok, sinon la suite a_n=(x_n,y_n)=\left(0, \dfrac{1}{n}\right) convient parfaitement, et pour tout n\in \N, on a bien a_n\in A

Oui tout à fait et elle semble plus faciliter les choses; encore merci.

Posté par
mousse42re : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 23-07-20 à 20:26

amage @ 23-07-2020 à 19:33

Aussi, j'aimerais avoir s'il vous plait quelques de vos indications sur la dernière question.
J'ai essayé d'utiliser le fait que si A est compacte, alors de toute suite d'éléments de A, l'on peut extraire une sous suite qui soit convergente et qui converge vers un élément de A et ensuite introduire une suite et utiliser la caractérisation de la borne supérieure avec des suites mais je ne sais pas comment utiliser tout cela pour prouver l'existence du max de (A) qui serait égal à d(a,b)




Peut être utiliser la continuité de (x,y)\in A^2\mapsto d(x,y)\in \R+

Posté par
carpediemre : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 23-07-20 à 21:55

c'est la même chose :

A est compact donc borné donc d(A) est borné

il existe donc une suite de couples (a_n, b_n) de A x A tels que d(a_n, b_n) --> d(A)

et ensuite tu travailles comme pour la question 2a/ ...

Posté par
mousse42re : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 24-07-20 à 13:36

mousse42 @ 19-07-2020 à 01:17

amage @ 17-07-2020 à 23:16

Aussi, si ce n'est pas trop vous demander, je viens d'aborder ce chapitre et plus généralement la topologie et j'aimerais s'il vous plait savoir pourquoi dans certains cas on travaille avec des suites, quels est l'intérêt de cette approche et éventuellement quand est ce qu'il est conseillé de travailler avec des suites.


Dans un cas une méthode peut être plus simple qu'une autre, dans un autre ce sera l'inverse.

En utilisant les suites

On a A fermé et on veut montrer que d(a,A)=0\implies a\in A

Soit a\in E, et on suppose que d(a,A)=0,par conséquent pour tout \varepsilon>0, on a B(a,\varepsilon) \cap A\ne \varnothing

Avec cette proposition on va construire une suite (x_n)\subset A

\forall n\in \N, $ il existe $ x_n\in B(a,1/n) \cap A d'où (x_n)

Puisque \forall n\in \N,\;0\le d(a,x_n)<\dfrac{1}{n} par passage à la limite on a d(a,x_n)\to 0 , i.e.\textcolor{\red}{(***\text{puisque $d:x\mapsto d(a,x)$ est continue}***)} x_n\to a et puisque A est fermé il s'ensuit que a\in A

Si a \not\in A (on garde l'hypothèse d(a,A)=0 et la suite construite qui converge vers a), on aurait a\in A^c un ouvert et donc l'existence d'une boule ouverte centrée sur a que l'on note B(a,r)\subset A^c et donc   un p\in \N tel que \dfrac{1}{p}<r ainsi B(a,1/p)\subset A^c,   dit autrement  B(a,1/p)\cap A=\varnothing, or (x_n) converge vers a contradiction d'où a\in A

ça c'était pour te convaincre que a ne peut être que dans A


En rouge un ajout pour que l'argumentation soit béton. Puisque d est continue \lim d(a,x_n)=d(a,\lim x_n)=0 \\ d'où \lim x_n=0

Une autre piste pour la compacité :

En montrant que  (x,y)\in A^2\mapsto d(x,y)\in \R+  est continue. et en utilisant les résultats de ton cours tu devrais déduire sans passer les suites qu'il existe a,b\in A tels que \delta(A)=d(a,b) \\

Posté par
amagere : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 24-07-20 à 17:14

carpediem @ 23-07-2020 à 21:55

c'est la même chose :

A est compact donc borné donc d(A) est borné

il existe donc une suite de couples (a_n, b_n) de A x A tels que d(a_n, b_n) --> d(A)

et ensuite tu travailles comme pour la question 2a/ ...

D'accord merci !
Pouvez-vous me donnez votre avis sur la rédaction et sur la suite ?

A est compact, donc bornée et donc, d(A) est aussi bornée par conséquent, il existe une suite de couples (a_n, b_n) de A² tels que d(a_n, b_n) --> d(A). Posons d(A) = (a , b), avec a, b appartenant à E. On a  :  d(a_n , b_n)-->d(A)=d(a,b), et donc, par continuité de l'application qui à tout x, y |---> d(x , y), on a : d(lim a_n ; lim b_n) = d(a , b) d'où :
lim a_n =a et lim b_n = b; de plus, A est fermée, et donc A est encore égale à son adhérence et par conséquent, (a , b) appartient à A².

Posté par
amagere : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 24-07-20 à 17:17

mousse42 @ 24-07-2020 à 13:36

mousse42 @ 19-07-2020 à 01:17

amage @ 17-07-2020 à 23:16

Aussi, si ce n'est pas trop vous demander, je viens d'aborder ce chapitre et plus généralement la topologie et j'aimerais s'il vous plait savoir pourquoi dans certains cas on travaille avec des suites, quels est l'intérêt de cette approche et éventuellement quand est ce qu'il est conseillé de travailler avec des suites.


Dans un cas une méthode peut être plus simple qu'une autre, dans un autre ce sera l'inverse.

En utilisant les suites

On a A fermé et on veut montrer que d(a,A)=0\implies a\in A

Soit a\in E, et on suppose que d(a,A)=0,par conséquent pour tout \varepsilon>0, on a B(a,\varepsilon) \cap A\ne \varnothing

Avec cette proposition on va construire une suite (x_n)\subset A

\forall n\in \N, $ il existe $ x_n\in B(a,1/n) \cap A d'où (x_n)

Puisque \forall n\in \N,\;0\le d(a,x_n)<\dfrac{1}{n} par passage à la limite on a d(a,x_n)\to 0 , i.e.\textcolor{\red}{(***\text{puisque $d:x\mapsto d(a,x)$ est continue}***)} x_n\to a et puisque A est fermé il s'ensuit que a\in A

Si a \not\in A (on garde l'hypothèse d(a,A)=0 et la suite construite qui converge vers a), on aurait a\in A^c un ouvert et donc l'existence d'une boule ouverte centrée sur a que l'on note B(a,r)\subset A^c et donc   un p\in \N tel que \dfrac{1}{p}<r ainsi B(a,1/p)\subset A^c,   dit autrement  B(a,1/p)\cap A=\varnothing, or (x_n) converge vers a contradiction d'où a\in A

ça c'était pour te convaincre que a ne peut être que dans A


En rouge un ajout pour que l'argumentation soit béton. Puisque d est continue \lim d(a,x_n)=d(a,\lim x_n)=0 \\ d'où \lim x_n=0

Une autre piste pour la compacité :

En montrant que  (x,y)\in A^2\mapsto d(x,y)\in \R+  est continue. et en utilisant les résultats de ton cours tu devrais déduire sans passer les suites qu'il existe a,b\in A tels que \delta(A)=d(a,b) \\


Merci beaucoup pour vos précisions quant à la continuité de l'application et la rédaction aussi.
Mais je ne sais pas exactement de quels résultats vous parlez pouvez-vous s'il vous plait me donner plus d'indications ?
Merci

Posté par
mousse42re : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 24-07-20 à 17:42

amage @ 24-07-2020 à 17:14


D'accord merci !
Pouvez-vous me donnez votre avis sur la rédaction et sur la suite ?

A est compact, donc bornée et donc, d(A) est aussi bornée par conséquent, il existe une suite de couples (a_n, b_n) de A² tels que d(a_n, b_n) --> d(A). Posons NON c'est pas bon à ce niveau d(A) = (a , b), avec a, b appartenant à E. On a  :  d(a_n , b_n)-->d(A)=d(a,b), et donc, par continuité de l'application qui à tout x, y |---> d(x , y), on a : d(lim a_n ; lim b_n) = d(a , b) d'où :
lim a_n =a et lim b_n = b; de plus, A est fermée, et donc A est encore égale à son adhérence et par conséquent, (a , b) appartient à A².


L'existence d'une suite \big(d(a_n,b_n)\big)_{n\in \N} qui converge ça oui, je suis d'accord, par contre qui te dit que la suite \big((a_n,b_n)\big)_{n\in \N} converge ?

Posté par
mousse42re : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 24-07-20 à 17:52

prends par exemple le disque fermé de rayon 1 centré sur 0 dans \R^2. Il existe une infinité de couples (a,b) tels que d(a,b)=\delta(A)

la suite  définie comme ceci (x_{2n}, y_{2n})=(a,b) et  (x_{2n+1}, y_{2n+1})=(b,a)
on a bien d(x_n,y_n)\to \delta(A) par contre la suite (x_n,y_n) n'est pas convergente

Posté par
mousse42re : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 24-07-20 à 18:07

Citation :
Merci beaucoup pour vos précisions quant à la continuité de l'application et la rédaction aussi.
Mais je ne sais pas exactement de quels résultats vous parlez pouvez-vous s'il vous plait me donner plus d'indications ?


quand je parle de résultats, je fais référence aux théorèmes de ton cours. J'imagine que tu as un chapitre sur la compacité, avec deux ou trois théorèmes

Posté par
mousse42re : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 25-07-20 à 00:36

alors amage, elles se sont collées les pages sur la compacité?

Posté par
amagere : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 25-07-20 à 11:42

Ahhh oui oui   !! la suite ((an , bn)) ne converge pas nécessairement.
Pour les résultats du cours rassurez-vous elles se sont collées. Je vais donc essayer de les utiliser pour faire la démonstration.

Posté par
amagere : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 25-07-20 à 11:47

Mais avant, dans ce cas, comment faire avec les suites ? Car vous m'avez appris(et je vous remercie grandement au passage) à considérer leur usage possible dans les exercices chose que je n'imaginai pas possible alors j'aimerais bien apprendre à les utiliser.

Posté par
mousse42re : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 25-07-20 à 11:52

CE qu'on sait c'est que \big((a_n,b_n)\big)_{n\in \N}   dans A\times A, un ensemble qui possède une certaine propriété

Posté par
amagere : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 25-07-20 à 12:04

Étant donné que ((an , bn) est dans A² et que A est compact, A est par conséquent complet et par par définition d'un complet, toute suite de A et en occurrence ((an , bn)) converge et converge vers un élément de A qui est donc
(a ,b).

Posté par
mousse42re : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 25-07-20 à 12:21

puisque \big((a_n,b_n)\big)_{n\in \N}   est dans A\times A un compact, il existe une sous-suite   \big((a_{\phi(n)},b_{\phi(n)})\big)_{n\in \N} qui converge vers (a,b)\in A\times A

Posté par
mousse42re : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 25-07-20 à 12:47

si tu t'appuies sur les résultats de ton cours (sans utiliser les suites) :

Puisque \delta(A)=\sup\{d(x,y):x,y\in A\} et que \{d(x,y):x,y\in A\} est l'image de A\times A par d:(x,y)\in A^2\mapsto d(x,y)\in \R+,  qui est une fonction continue. On a donc d(A\times A)=\{d(x,y):x,y\in A\}, tu dois avoir un théorème dans ton cours qui dit que l'image d'un compact par une fonction continue est un compact
Donc d(A\times A) est un compact de \R, par conséquent c'est un fermé borné, dès lors \delta(A)\in d(A\times A), donc il existe un couple (a,b)\in A^2 tel que d(a,b)=\delta(A)

Je te laisse terminé avec les suites, tu es très proche du résultat final

Posté par
carpediemre : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 25-07-20 à 14:26

je ne pense pas qu'il faille utiliser la continuité ... et que c'est très important de ne le faire qu'avec les propriétés de base des compacts ...

Posté par
amagere : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 25-07-20 à 14:30

Merci beaucoup @mousse42 pour toutes vos explications et précisions.
Je vais terminer avec les suites. Encore merci !

Posté par
amagere : Topologie sur un espace vectoriel normé donné 25-07-20 à 14:33

D'accord compris @carpediem  !

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