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Tor-modules

Posté par
raisinsec
01-12-21 à 16:03

Salut,

J'ai une question concernant les modules Tor.

Si on se donne un anneau R=K[x,y] ou K est un corps, et qu'on considère les R-modules M=(x,y) et N=R/M.

Je veux calculer Tor^i_{R}(M,N) \forall i \in \mathbb N.
Si i=0 on a Tor^0_{R}(M,N) \cong M \otimes_R N.
Pour des i>0 on a Tor^i_{R}(M,N)=Ker(f_i\otimes id_N)/Im(f_{i+1}\otimes id_N)\cong Ker(f_i)\otimes_R N /Im(f_{i+1}\otimes id_N)= Im(f_{i+1})\otimes_R N/Im(f_{i+1})\otimes_R iN) \cong {e} c'est ça ? Il faudrait "juste" montrer les isomorphismes.

On me demande aussi si N est "flat", c'est a dire si en appliquant le foncteur -\otimes_R N a une courte suite exacte, en obtient une courte suite exacte. Je crois que c'est vrai mais je ne sais pas comment le montrer.

Quelqu'un peut m'aider ?

Posté par
GBZM
re : Tor-modules 01-12-21 à 18:22

Bonsoir,

Tu peux commencer par trouver une résolution projective de M =\langle x, y\rangle, en fait une résolution libre.
Après, tu appliques la recette pour calculer les \mathrm{Tor}^R_i(M,N) .

Pour la platitude, tu as peut-être vu une condition nécessaire pour qu'un module soit plat ?

Posté par
raisinsec
re : Tor-modules 02-12-21 à 11:01

Merci pour ta réponse GBZM,

On prend une résolution 0RR^2M0 définie par p(x,y) \mapsto (xp(x,y),-yp(x,y)) et (p,q) \mapsto yp+xq et obtient Tor^i_R(M,N)=0 \forall i >0 ?
Et il faudrait encore montrer par exemple Ker(f\otimes id_N)=Ker(f)\otimes_R N pour montrer que Tor^1_R(M,N)=0 (f le morphisme de R a R^2)
Est ce que c'est direct en utilisant le fait que le foncteur est exact à droite sur toutes les courtes suites exactes ?
Et si on a les isomorphismes le raisonnement d'hier fonctionne non ? Sauf qu'on aurait pas besoin d'expliciter une résolution.

C'est équivalent à Tor^1_R(M,N)=0 pour tous modules M. On peut essayer avec N. Encore une fois ce qui me dérange c'est que je suis pas sur à 100% que Ker(f_i\otimes id_N)=Ker(f_i)\otimes N ou f_i est un morphisme de structure, même chose pour Im(f_{i+1} \otimes id_N).

Posté par
GBZM
re : Tor-modules 02-12-21 à 16:50

Tu as une résolution libre de M, très bien. Pourquoi ne lui appliques-tu pas la recette pour calculer les \mathrm{Tor}_i^R(M,N) à partir de cette résolution ? Tu dois connaître cette recette, pourtant, non ?

Posté par
raisinsec
re : Tor-modules 02-12-21 à 17:13

La seule recette que j'ai pour calculer Tor^i_R(M,N) c'est la définition, c'est a dire Tor^i_R(M,N)=Ker(f_i\otimes id_N)/Im(f_{i+1}\otimes id_N).
C'est pour ça que si je montre que Ker(f_i\otimes id_N)=Ker(f_i)\otimes_R N et que Im(f_{i+1}\otimes id_N)=Im(f_{i+1})\otimes_R N j'aurai de suite que le quotient est trivial en me servant du fait que la résolution est exact pour i>0.

Mais tu n'as pas l'air d'aller dans ce sens, je me trompe ?

Posté par
GBZM
re : Tor-modules 02-12-21 à 17:24

Mais bon sang, qu'est-ce que tu attends pour te retrousser les manches et voir ce que donne le complexe 0\to R\to R^2\to 0 qui vient de la résolution de M, une fois tensorisé par N ?
C'est facile, et ça te permettra d'avoir explicitement les \mathrm{Tor}_i^R(M,N).

Posté par
raisinsec
re : Tor-modules 02-12-21 à 18:07

Je ne m'attendais pas à t'agacer ahah.

Après m'être retroussé les manches, je trouve qu'il s'agit de 0  N N\oplus N 0 avec comme morphisme g: N \to N\oplus N défini par g(n)=(xn,-yn), obtenant donc Tor^1_R(M,N)\cong N, les autres sont nuls (sauf i=0)

C'est ça ?

Posté par
GBZM
re : Tor-modules 02-12-21 à 18:20

Quelle est l'image du morphisme N\mapsto N^2 ? Je te rappelle que N=K[x,y]/\langle x,y\rangle (d'ailleurs, N est isomorphe à quoi ?).

Posté par
raisinsec
re : Tor-modules 02-12-21 à 18:41

L'image est nulle, je l'utilise pour dire que Tor^i1_R(M,N)=N\ et N\cong K si je ne m'abuse.

Posté par
GBZM
re : Tor-modules 02-12-21 à 21:12

Pourquoi n'as tu pas dit dans ton message précédent que ton g : N\to N^2 est l'application nulle ??
Quand tu écris g(n)=(xn,-yn), il n'est pas clair que tu as bien compris que g(n)=0.

Enfin, grâce à mon insistance tu as fini par faire le petit calcul facile des \mathrm{Tor}_i^R(M,N), et cela apporte la réponse à tes questions, n'est-ce pas ?

Posté par
raisinsec
re : Tor-modules 02-12-21 à 21:33

Oui effectivement, merci beaucoup pour ta patience (même si cette fois tu as failli voir rouge) et pour ton aide comme d'habitude.



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