Bonjour,
Cela vient du fait que R\Q est dense dans R. Tu peux utiliser que Q est dénombrable. Sauf erreur.

Bonjour camalo.
Il faudrait déjà rappeler qu'elle est la définition de la totale discontinuité d'un ensemble.

* quelle est la ...

Merci pour vos réponses
jarod128 je n'ai pas trouvé de solution avec vos éléments pouvez-vous m'en dire plus?

jsvdb La définition avec laquelle il est attendu qu'on travaille est donnée dans l'énoncé et est : X est totalement discontinu si les composantes connexes de X sont les singletons
...Sauf qu'avec Q, j'ai du mal à voir ça

Bonsoir,
dans ton cas je crois que l'on considère Q comme un sous-ensemble de R muni de la distance usuelle.
Soient a et b deux rationnels distincts.
Le segment [a;b] est-il entièrement dans Q ?
Ce qui règle le cas de la connexité par arc.

Pour la connexité en général, c'est à peine plus difficile.

En effet Q n'est pas connexe, car on peut l'écrire sous la forme suivante :
= ]-,2[ ]2, +[ ...

Mais cela ne me donne pas ses composantes connexes, en tous cas, ne me dis pas que ses compo. connexes sont les singletons ?

C'est l'idée :
entre deux rationnels il y a un irrationnel.
Ils ne peuvent donc pas être dans la même composante connexe.

Et les ensembles ayant au moins un élément et strictement moins que deux sont les singletons.

Alors, par l'absurde je pourrais supposer que V connexe contient deux éléments q et q' de.
Or il existe x? tq q<x<q' car est dense dans .
Donc l'ensemble ]-, x] est un ouvert fermé relatif à
et  ]-, x[ est un ouvert fermé relatif à
Or q cet ensemble mais q' non.

Je ne sais pas trop comment conclure

Ce que tu écris est incompréhensible.