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3 ?

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C'est ce que j'ai trouvé aussi, tu l'as fait réglo ou Maple ?

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Je ne préfère pas donner de démo tout de suite, je laisse les jeunes chercher ...

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Je n'arrive pas à simplifié l'expression plus que ça et ça ne m'avance pas beaucoup alors de la a trouvé le dernier chiffre... Je continue à cherché

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à l'inverse de l'addition et de la multiplication, un enchaînement de puissance se calcule de droite à gauche
le reste de la division de 7ⁿ par 4 est 3 ou 1 selon que n est impair ou pair
il est évident qu'à tous les stades de la construction du calcul, on aura affaire à un exposant impair
au final on a 7^{multiple de 4 plus 3}
selon que le reste de la division de l'exposant par 4 est 0, 1, 2 ou 3, le reste de la division du résultat par 10 est 1, 7, 9 ou 3
comme le premier reste est 3, le second reste est 3
la réponse est donc 3

ce problème serait accessible dès la troisième si on veillait à ce que les élèves aient une tête bien faite au lieu d'une tête bien pleine !

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C'est juste !

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Résultat préliminaire: 7 et 3 sont congrus a 3 modulo 4, donc ].
On trouve donc ==> , on réitère, et on trouve que . Le chiffre des unités c'est 3?

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Le résultat est bon, j'ai utilisé comme toi les congruences.

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ca me semblais le plus évident, puis qu'avec les congruences par 10 on trouve rapidement 3 pour unité.
Mais vu la facon dont c'est dit il doit y avoir mieux?

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Tiens c'est marrant, moi je trouve que si le nombre de 7 en "cascade" est impair, le chiffre des unités du résultat est 7 et si le nombre de 7 en "cascade" est pair, le chiffre des unités du résultat est 3.
Comme ici, le nombre de 7 en cascade est impair, le chiffre des unités du résultat est 7.

Mais comme tout le monde trouve 3, je dois mêtre trompé quelque part.

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j'ai très peur de me tromper , mais regarde
et donc .. il me semble donc que alors qu'il y a un nombre impair de 7

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7^7 = 823543 (finit par 3)

et qu'on fasse 3^7 = 2187 (finit par 7)
ou qu'on fasse 43^7 = 271818611107 (finit par 7)
ou qu'on fasse 543^7 = 13918704257790032607 (finit par 7)
ou qu'on fasse 3543^7 = 7434146469320241366849597 (finit par 7)
...
ou qu'on fasse 823543^7 (devrait finir par 7)

Si oui (7^7)^7 finit par 7.

Pour moi, il suffit de prendre le chiffre des unités du résultat de 7^7 (ici 3) et de faire 3^7 = 2187 (finit par 7) pour dire que le chiffre des unité de (7^7)^7 est 7

Mais je dois me tromper.

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pour moi n'est PAS egal

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Si mes calculs sont exacts, le dernier chiffre des puissances successives de 7 est le suivant :

Exposant :             1    2    3    4    5    6    7
Dernier chiffre :      7    9    3    1    7    9    3
Le dernier chiffre de 7⁷ est donc 3

Et le dernier chiffre des puissances successives d'un nombre finissant par 3 est le suivant :

Exposant :             1    2    3    4    5    6    7
Dernier chiffre :      3    9    7    1    3    9    7
Le dernier chiffre de est donc 7

...Et ainsi de suite.

Lorsque le nombre de chiffres 7 dans la formule est pair, le dernier chiffre est 3.
Lorsque le nombre de chiffres 7 dans la formule est impair, le dernier chiffre est 7.

Si mon raisonnement est correct, le dernier chiffre de          est donc     .

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Je viens de m'apercevoir que mon raisonnement était complètement faux

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Dans ta deuxième ligne tu as écrit

Pourquoi ?

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pourquoi quoi? on peut pas passer de 3 à ? je me suis peut-être gourré

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J'ai un doute, il me semble qu'on peut le faire uniquement si c'est congru modulo 4, alors qu'ici ça l'est modulo 10 ! Non ?

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bon, alors j'ai qu'a le faire modulo 20... ca doit marcher aussi ^^

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En fait le plus simple est je pense de faire comme plumemeteore, de commencer par la droite.

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Voilà comment je ferais :

7 = 3[4]
7²= 1[4]
7³= 3[4]

Donc si k est pair 7^k=1[4] et si k impair alors 7^k=3[4]

7 = 7[10]
7²= 9[10]
7³= 3[10]
7⁴= 1[10]
7⁵= 7[10]

Donc on a :

k=0[4] => 7^k=1[10]
k=1[4] => 7^k=7[10]
k=2[4] => 7^k=9[10]
k=3[4] => 7^k=3[10]

Posons alors K = la tour de 5 "7" qui est impaire. Donc K'=7^K=3[4].

Par suite 7^K'=3[10] qui est le résultat recherché.

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Autrement dit on pourrait continuer indéfiniement à empiler des 7 suivant cette tour, le chiffre des unités resterait 3.