Bonjour,

Pour le cas non convexe :

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On peut voir qu'un quadrilatère en forme de "boomerang" peut bloquer la manœuvre de la baguette et empêcher les 2 extrémités d'atteindre 1 sommet (celui en bas à gauche).
Sur cette même figure les autres sommets ne sont atteignables que par 1 extrémité de la baguette.

J'ai compris l'idée mais j'ai du mal à voir sur ton dessin à quel niveau se situe le blocage . Tu pourrais appeler [XY] la baguette et ABCD le quadrilatère en indiquant les contraintes qui expliquent où et pourquoi ça coince

Il est possible que les deux extrémités de la baguettes appartiennent à des côtés non consécutifs .

Imod

Bonjour

Pour le cas non convexe, il faut que les angles soient > arccos(19900/20000), soit environ 5,732°

Déjà soyons sûrs que nous comprenons l'énoncé de la même manière : je comprends que la baguette doit toujours rester à l'intérieur de la "pièce" que l'on peut définir sur mon dessin comme tout ce qui se trouve sur la droite du contour A->B->D->C->A (parcouru dans ce sens).

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On part de l'image du haut (situation initiale)
On fait coulisser [XY] le long de [AB] vers B
On fait passer Y sur [DB]  et on revient (X vers A, et Y vers D)
Mais la baguette se retrouve bloquée par le sommet C (image du bas)

Et de manière similaire, si on décide d'amener X vers A alors X pourra passer sur [AC] tandis que Y restera sur [AB]. Lorsque X atteint C, on ne peut plus rien faire.

Ainsi, pour moi on X ne peut atteindre que A et C, et Y n'atteint que B. Et D n'est jamais atteint.

Non , il n'y a pas d'obligation que la baguette reste à l'intérieur ou sur la frontière du polygone , la contrainte concerne uniquement ses extrémités et sa rigidité .
Imod

Bonjour
Pour les cas convexes:
L'expérience montre que c'est possible pour peu que la baguette soit
plus petite que le plus petit coté ;on glisse selon   la figure:
Par contre pour un cas concave le glissement est impossible.

Curieusement dans les deux cas la baguette ne peut pas toujours effectuer un tour complet . Il faut chercher des figures très simples .

Imod

Salut à tous.
Un cas ( non convexe ) où il me semble que la baguette ne passe pas : on prend un M inscrit dans un carré de 10cm.

Finalement je vois que mon exemple est un cas limite où ça passe.
En fait on prend un rectangle de largeur strictement inférieure à 10cm que l'on complète en rajoutant par exemple un triangle rectangle isocèle ( mais il y a beaucoup d'autres possibilités ) et la baguette ne peut pas passer.

La contrainte principale est que les côtés du polygone doivent faire au moins 1 m

Imod

Dans le cas convexe,j'ai voulu voir l'évolution du triangle ABC avec A angle du polygone.
ex 25° 70° 130°
on voit bien AB et AC avec BC (baguette )=10 en abscisses les angles
possibles.

J'ai sous les yeux deux quadrilatères dont les côtés sont grands et  l'un d'eux est convexe , pourtant la baguette n'en fera jamais un tour complet

Il  faut rester simple

Imod

Bonsoir,
un jour j'apprendrais à lire, promis
En regardant ce qui ce passe dans un triangle on peut voir que la baguette ne peut pas faire le tour quand le triangle a un côté strictement inférieur à 10cm, ce que l'énoncé exclu, ou quand il a une hauteur strictement inférieure à 10cm.
Par exemple la baguette ne peut pas faire le tour d'un triangle isocèle de base 200cm et de hauteur relative à la base 9cm. Pourtant tous les côtés mesurent plus d'un mètre.

>verdurin
Je suis bien d'accord avec toi ,il n'est qu'à voir les dimensions de AB et BC avec des angles très aigus.
on  voit par exemple que pour 10° AB ou AC atteignent 58 cm

je n'ose pas proposer - car AB ou AC deviennent énormes

Bonjour,

Comme noté dans mon 1er message (qui était écrit pour des cotés de 1 m)

Pour une longueur L (en cm) de cotés et une baguette de longueur 10 cm :
Pour que cela passe, il faut des angles > arccos[(2L²-100)/(2L²)]

Donc avec L = 1 m (100 cm) --> angle > 5,73°

Salut candide2.
En prenant ton idée dans l'autre sens, pour que la baguette puisse passer un angle aigu il faut et il suffit que les deux côtés de cet angle ( saillant même si il est rentrant vu du polygone ) soient plus grands que 10/sin.

Les valeurs fournies ne sont pas fausses mais ne répondent pas à  l'ensemble des questions que je précise .

La baguette est sur un côté du polygone et la convexité ajoute clairement une contrainte .

Si le polygone est convexe : la baguette poura-t-elle faire un tour complet ?

Si on oublie la convexité du polygone est-il possible qu'un de ses sommets ne soit jamais atteint par la baguette ?

Imod

Bonsoir Imod.

Je confirme le 1m pour A =5.73°
Si on me donne un polygone avec angles et dimensions ,mon bidule
dira si la baguette passe partout  (je pensais au début qu'elle devait
rester à l'intérieur ,mais pour les angles concaves rien n'empêche qu'elle fasse son glissement à l'extérieur ).

Le calcul est bon mais j'avais pas attaqué le problème sous cet angle



Si on pose la baguette [XY] sur le côté [AB] , sur le premier dessin X ne peut pas aller en C ni Y en D , sur le deuxième X n'atteindra ni B ni D et Y ni A ni C . Il peut y avoir des variantes si les extrémités X et Y de la baguette sont initialement placés sur deux côtés différents du polygone .

Imod

Bonsoir,
une figure qui me pose problème :

tous les côtés bleu mesurent 1m et le triangle central est équilatéral de côté 10cm.
La baguette peut-elle en faire le tour ?

>verdurin
Nous sommes exactement dans la configuration
A=5.73° et la longueur du coté est la limite de passage (cf  08 10)  comme l'avait aussi dit candide2  30/07 9h37

>dpi
arcsin(0,1)5,739° et 2arcsin(0,05)5,732°.
On est en dessous du minimum que l'on a donné précédemment.

Plus précisément une baguette de 10 cm ne peut pas faire le tour d'un triangle de côtés 100cm, 100cm et 10cm.

Une question de décimale... 5.732 étant la limite (pour 1m) on va dire
que pour 5.74 ça passe est que pour 5.73  ça coince.
En raisonnant dans l'autre sens on on peut donner les longueurs minimales des cotés admissibles en fonction des angles.

Pour moi dans le cas du triangle , le critère est simple : la baguette fait le tour complet quand sa taille est inférieure ou égale à la plus petite hauteur du triangle .
Imod

Salut Imod,
je suis d'accord avec toi. Ici la plus petite hauteur du triangle (100 ;100 ; 10) est manifestement strictement inférieure à 10.
Mais aujourd'hui je me suis persuadé que la baguette peut faire le tour de l'étoile que j'ai donnée hier.
Ceci en regardant une étoile moins pointue.

En effet , une extrémité de la baguette peut progresser pendant que l'autre fait machine arrière . L'étude de la plus petite baguette pouvant parcourir intégralement la frontière d'un polygone quelconque doit être extrêmement complexe .  On doit pouvoir imaginer des parcours hyper sophistiqués ( comme dans certaines études d'échecs ) où une extrémité de la baguette décrit un cycle pendant que l'autre progresse pas à pas . Je me demande d'ailleurs si certains casse-têtes métalliques ou en bois n'utilisent pas ces particularités .
Imod

Sur un polygone quelconque donné  ABCD....K  et une baguette de
longueur L , il faut retenir l'angle  le plus petit disons A et ses deux cotés adjacents AK et AB  .
La baguette L  continuera son tour si L/sinA <(AK,AB).
Réciproque :
La baguette la plus longue pouvant faire le"tour" d'un polygone ABCD...K  mesurera  le plus petit coté multiplié par le sinus de son angle adjacent .

On ne peut pas tout rapporter à un problème local , il suffit d'observer des schémas de ce genre pour s'en rendre compte :



Le problème est très compliqué et mon ordinateur est en train de rendre l'âme  

Imod

>Imod
Ta ligne brisée n'est pas un polygone mais si tu appliques ma théorie :
Tu regardes  l'angle le plus aigu C et ses deux cotés adjacents CB et CD  .(supposons CBCD
La baguette la plus longue pouvant circuler doit mesurer   CBsinC.

exemple  CB = 80  ,CD =85 et C=8°--->baguette 11.1
si C=6° ------------------------------------->8.36
si C=15°------------------------------------>20.7
Mon bidule peut tester une autre configuration si tu veux.

Je ne peux plus illustrer mais je persiste à croire que le problème général ne peut pas avoir de solution uniquement locale .

On peut imaginer une roue crantée en son intérieur et une tige qui tourne avec des mouvements de va et vient et je vois mal comment un secteur pourrait imposer à lui seul la taille de la baguette .

Bien sûr si initialement la baguette est posée sur le plus petit côté du polygone , les contraintes sont autres

Imod

Salut dpi.
Un dessin pour montrer comment la baguette de longueur AB passe un petit angle aigu :

la baguette est représenté par une flèche.

On sait depuis le début que la baguette doit avoir en permanence ses
deux bouts sur le tracé :
*si on impose qu'elle "parte" du premier segment,il est évident qu'elle doit avoir une longueur
Sinon  cette contrainte s'efface devant celle de l'angle le plus aigu.
*cf  03/08 8h40

Ici il suffit de comparer la contrainte  LAB
avec L  BCsinC  (si BCCD.

Bonjour verdurin,

L'énoncé précise :

"une baguette rigide de 10 cm attachée par ses extrémités à la frontière d'un polygone simple dont chaque côté mesure au moins 1 m . "

Ton dessin du 03-08-24 à 15:03 ne respecte pas ces contraintes.
(baguette < coté/10)

Je propose que Imod donne un polygone avec les cotes des angles et des cotés et que l'on calcule la longueur de la baguette maximale pouvant en faire le tour

Je ne suis pas vraiment emballé par ton défi

Je verrais plutôt un jeu sur un quadrillage dans lequel une grande baguette devrait passer d'une position à une autre avec des obstacles polygonaux suivant les lignes du quadrillage . On reviendrait ainsi un peu à mon introduction .

Imod

Bonsoir à tous.
Je suis intéressé par le défi de dpi, en fait c'est la question qui m'est venue à l'esprit avec le problème d'Imod.
Pour ne pas continuer à polluer ce fil j'en ouvre un autre.