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Niveau seconde
tour de magie
Posté par joanna15973
Bonjour,
J'aurais besoin d'aide avec cette exercice s'il vous plaît:
Un magicien demande à un spectateur de penser à un nombre inférieur à 100. Ensuite il lui demande de le diviser par 3,5 et 7. Il doit lui dire les restes. Et après une courte réflexion le magicien lui donne son nombre. C'est quoi le truc de magicien ?
Merci pour tout l'aide
C'est un problème de congruences ..
Il multiplie le premier reste par 70, le second par 21 et le troisième par 15.... et il additionne le tout.
Le reste de la division par 105 est le nombre cherché ...
salut
soit n ce nombre ...
écris n = 3p + r = 5q + s = 7t + u (division euclidienne de n par 3, par 5 et par 7) ...
Bonjour,
La solution proposée par Nofutur2, que je salue au passage en souhaitant une bonne année 2017, fait appel à un théorème appelé "théorème chinois" qui utilise la division euclidienne, ainsi que les congruences.
Mais les congruences ne sont vues qu'en classe de TS spé maths, donc cela risque d'être difficile car tu es en seconde.
Mais je peux te donner un début de justification :
Soit N le nombre choisi par le spectateur.
Soient r1, r2 et r3 les restes respectives de la division euclidienne de N par 3, 5 et 7.
On sait que dans une division euclidienne, on peut écrire :
Dividende = (diviseur) × (quotient) + reste
Ainsi, on a :
N = 3q1 + r1 = 5q2+ r2 = 7q3 + r3 (avec q1, q2 et q3 les quotients des 3 divisions)
Ainsi : r1 = N - 3q1 ; r2 = N - 5q2 ; r3 = N - 7q3.
La solution proposée par nofutur est la suivante :
Le magicien calcule la somme (70*r1 + 21*r2 + 15*r3), divise ensuite par 105 et retient le reste de cette division : c'est la nombre N bien évidemment...
La justification :
Après calculs, on arrive à :
.
Or, comme (N - 2q1 - q2 - q3) est un entier, et que (N/105) est forcément inférieur à 1 car N
100, on comprend alors rapidement que N est le reste de la division euclidienne du nombre (70r1 + 21r2 + 15r3) par 105.
Bonjour,
ceci dit le magicien est tout de même extrêmement doué en calcul mental !!!
le truc doit certainement être tout autre que des calculs modulo 105 !
par exemple connaissance de tête par coeur de la table de multiplication par 7 jusqu'à 7x15 = 105
(il fut un temps où les tables de multiplication étaient à savoir jusqu'à 15x15)
etc.
il y une chose que je ne comprend pas, comment vous trouvez 70? j'ai réussi à trouver les autres mais je ne comprend pas pourquoi vous multipliez par deux
je pense que pour plus de deux restes les coefficients du "théorème des restes chinois" ne peuvent que sembler parachutés
même déja pour deux restes seulement c'est le cas à ce niveau (sans connaissance des congruences et de la résolution des équations de Diophante)
ee fait ces coefficients sont obtenu de cette façon :
r1 reste de la division par 3, r2 reste de la division par 5, r3 reste de la division par 7 :
le reste de la division par 105 est le même que celui de
r1*m1*5*7 + r2*m2*3*7 + r3*m3*3*5
et il faut trouver m1, m2 et m3
m1*5*7 doit donner un reste = 1 quand on le divise par 3
m1 = 1 donnerait m1*5*7 = 35, divisé par 3 donne un reste de 2 donc ne marche pas
m1 = 2 donne 2*35 = 70 donne bien un reste de 1
c'est pour ça qu'on choisit m1 = 2
pareil pour les autres :
m2*3*7 doit donner un reste de 1 en divisant par 5 et on trouve m2 = 1
m3*3*5 doit donner un reste de 1 en divisant par 7 et on trouve m3 = 1