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Tour de piste
Le prétexte est une situation concrète ; on admettra cependant qu'on est en présence d'un problème purement mathématique et donc que toutes les données sont rigoureusement exactes.
Deux amis X et Y s'entrainent sur une piste classique d'athlétisme, composée de deux lignes droites de 80 m chacune et de deux demi-couronnes identiques, le tout donnant 400 m pour un concurrent placé à la corde. Elle dispose de 8 couloirs. On considère ici que la ligne de départ (et d'arrivée) se situe exactement au bout de la dernière ligne droite.
Chaque couloir a une largeur de 1,22 m. La longueur officielle de la piste est calculée à 30 cm de la lice (qui est en ciment tout au long de cette piste) pour le premier couloir, à 20 cm pour les couloirs suivants.
X et Y se lancent un défi sur un tour mais pas dans les mêmes conditions :
- Ils se placent sur la ligne d'arrivée (et de départ aussi pour les deux amis), X au couloir 1 (à 30 cm de la lice), Y au couloir 8 (à 20 cm du bord intérieur de son couloir) mais donc sans le décalage habituel pour un coureur de 400 placé dans ce couloir.
- X garde son couloir sur la totalité de la course à 30 cm de la lice et parcourt donc exactement 400 m.
- Y part du couloir 8 comme indiqué mais sa seule contrainte est de revenir exactement à l'endroit d'où il est parti en restant sur la piste sans faire demi-tour. Il peut donc couper les couloirs mais quand il est à la corde il doit respecter les 30 cm réglementaires.
Y choisit le trajet le plus court respectant ces consignes.
C'est parti ! X fait toute la course en tête mais Y se rapproche de plus en plus dans les tout derniers mètres. Pour l'anecdote, un ami posté sur la ligne d'arrivée se dira incapable de dire qui a gagné.
X a parcouru 400 m, mais Y ? (On arrondira le résultat au dm.)
(PS : aucune méthode particulière n'est imposée pour obtenir le résultat)
Bonne course ! 
Ah la géométrie !!!
J'espère ne pas m'être planté, mais je trouve que Y a parcouru...
L= 387,6 m arrondi au dm le plus proche.
Merci pour cette énigme originale...
Après avoir répondu (c'est à ce moment là que je commence à réfléchir !!), il m'a semblé bizarre de trouver moins que 400m, puisque le parcours idéal est celui qui longe la lice.
J'ai trouvé rapidement mon erreur (un pb d'angle), et je pense que la réponse est plutôt 403,9 m arrondi au dm le plus proche (403,8533m).
Rentrée en fanfare !!
Bonjour
Enfin ton retour...
X parcourt 400 m
Y optimise en cherchant les tangentes.
Sauf erreur 403.853 m soit arrondi 403.9m
Bonjour littleguy,
Y a parcouru 4039 dm (arrondi au dm le plus proche).
Merci pour cette énigme géométrique divertissante !
Y a parcouru 403,9 m.
Le parcours le plus court utilise les tangeantes comme sur le schéma ci dessous.
Y part à une distance de 1,22x7+0,20-0,30 = 8,44m de X.
Y parcours une distance de 26,76 + 96,66 + 80 + 116,08 + 84,36 = 403,86 m, soit (arrondi au dm) environ 403,9 m. Il aura donc parcouru moins de 1% de plus que X.
Bonjour,
Je propose pour la distance parcourue par Y arrondie au dm le plus proche : 403,9 m
Merci !
Bonjour, et bon retour, c'est avec plaisir que j'ai recommencé à lire cette énigme.
Bon je ne suis pas vraiment sure de moi, mais, même si ça serait dommage de commencer cette année avec poisson, je me lance...
Je propose 403,9, si mes souvenirs de trigo sont exacts..
Bonne journée
Les 30 cm ne sont pas "réglementaires" pour un coureur mais pour la mesure. Il n'est pas du tout obligé de les respecter mais il risque de se tordre la cheville sur la bordure.
Bonjour à tous,
voici ma proposition:
403.9 m
(avec plus de précision: 403.853511 m)
Voici le code maple que j'ai utilisé:
Merci pour l'énigme !
emeu
Bonjour.
403,9 mètres.
L'écart entre les deux couloirs de départ est (1,22*7)-10 = 8,44 m.
Rayon de la courbe : a = 120/pi.
Chemin jusqu'à la première courbe : b = √(a+8,44)²-a².
Arc parcouru sur la première courbe : c = pi-acos(a/(a+8,44).
Chemin sur la première courbe : d = a*c.
Chemin dans la dernière ligne droite : e = √(80²+8,44²).
Chemin total : b+d+e+200 = 403,86 m.
Bonjour,
Tout d'abord merci à kioups pour sa remarque pertinente, je n'aurais pas dû écrire « 30 cm réglementaires ». Malgré tout l'énoncé ne laissait aucun doute sur la trajectoire de B.
Ma première approche avait été faite à l'aide de geogebra qui me renvoya 403,8535106.
Ensuite j'avais traité la situation « à la main » si j'ose dire, et voici ce que j'avais écrit, aux coquilles près, de façon brute (avant quelques simplifications) :
Premier segment :
Premier arc de cercle :
Deuxième segment :
80
Deuxième arc de cercle :
Troisième segment :
Maple m'avait alors confirmé exactement le résultat de geogebra.
Malheureusement j'aurais dû demander un arrondi au cm et non au dm puisque quelqu'un qui occulte la dernière tangente et considère que le dernier demi-cercle est parcouru dans son intégralité trouve le résultat attendu...
« La réponse est le malheur de la question » en quelque sorte.
Je m'absente une semaine et ne pourrai pas donc lire vos éventuelles remarques (l'air du large me fera du bien 
)
Merci pour votre participation.
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