Bonjour,
Je pense qu'en partant de la réciproque,on peut bâtir un triangle
origine .Mais delà à dire que c'est vrai pour tous les triangles

Tu peux donner un exemple de triangle construit ainsi qui n'est pas isocèle ni rectangle ?

Imod

Bonsoir,
on peut dire que si on part d'un triangle isocèle il n'y a rien à faire et que si on part d'un triangle rectangle il suffit de tracer la médiane issue de l'angle droit.
Réciproquement si un triangle a une médiane qui le divise en deux triangles isocèles alors il est rectangle ( théorème de l'angle inscrit ).

On part d'une division minimale d'un triangle en triangles isocèles et on regarde la dernière division : tous les triangles de la division sauf un sont isocèles.
Donc le dernier triangle est rectangle et la médiane dont provient ce triangle est aussi une hauteur du triangle précédent qui était donc isocèle.
La division n'est pas minimale et on a une contradiction.

Conclusion :la réponse à ta question est non.

Bonsoir Verdurin

J'ai un doute sur cette affirmation "Donc le dernier triangle est rectangle et la médiane dont provient ce triangle est aussi une hauteur du triangle précédent qui était donc isocèle ."

Imod

Bonsoir Imod.
Je vois les choses comme ça :
On part d'un triangle, si il est isocèle  on ne fait rien c'est fini.
Si il n'est pas isocèle on trace une médiane et on continue en prenant toujours un triangle qui n'a pas été déjà divisé.
Et on continue jusque à ce que tous les triangles soient isocèles.

Quand on fait la dernière division tous les triangles sont isocèles sauf un. On divise ce triangle par une médiane pour obtenir deux triangles isocèles donc ce triangle est rectangle.
Or ce triangle provient du tracé d'une médiane et si la médiane est aussi une hauteur alors le triangle de départ est isocèle.
Il y a donc une découpe avec moins de morceaux telle que tous les triangles soient isocèles.

En remontant on arrive soit à un triangle rectangle, soit à un triangle isocèle.

Bonjour,
Mon idée de réciproque aboutit directement à un triangle isocèle.
Je penche donc pour la réponse est non pour un  triangle quelconque.

D'accord avec l'étape finale , je peine cette fois pour "en  remontant on arrive soit à un triangle rectangle, soit à un triangle isocèle" .

Imod

PS : Désolé pour la réponse tardive ( problèmes familiaux ) .

Saut Imod.
Je répond tardivement moi aussi mais c'est juste de la procrastination.
On a un triangle divisé en triangles isocèles par des médianes, par exemple :

J'ai tracé des médianes de triangles pour l'obtenir, la dernière que j'ai tracée est DI.
On a donc DI=BI=CI et donc le triangle DBC est rectangle en D.
Le point D est donc le milieu du segment AB et la droite (CD) est perpendiculaire à la droite (AB). Le triangle ABC est donc isocèle.

En disant que la dernière médiane tracée est EH j'aurais obtenu que (EFC) est rectangle en E puis que (CDF) est isocèle en F puis que (DAC) est rectangle en D puis que (ABC) est isocèle en C.

C'est ce que j'entends par « remonter la construction ».
On voit clairement sur cet exemple que l'on arrive sur un triangle isocèle ou sur un triangle rectangle.

Il est donc impossible de l'opération de découpage de triangles que tu proposes arrive sur des triangles tous isocèles en un nombre fini d'opérations en partant d'un triangle qui n'est ni isocèle ni rectangle.

En gros je dis la même chose que dpi ( que je salue ) : on fait la construction en sens inverse.

Avec tous mes vœux pour une résolution heureuse de tes problèmes non mathématiques.

verdurin.

Je suis très mauvais lecteur mais je ne suis toujours pas convaincu par cette "réciproque" , on peut faire dire plein de choses à un exemple

On peut "remonter" un triangle isocèle ABC vers un triangle ABD non isocèle et non rectangle :



On pourrait de même "remonter" un triangle rectangle . Ces contre-exemples ne prouvent rien mais montrent la complexité du problème .

Imod

Bonjour,
il semblerait que  le premier triangle ne doit pas être isocèle par
le sommet  qui restera dans le triangle définitif  (ici A) ,c'est la seule différence  que je vois entre les figures de verdurin et de Imod

Mon "contre-exemple" n'en est pas un , j'essayais d'illustrer qu'il n'était pas évident que tout détricotage de la construction aboutissait à un grand triangle nécessairement rectangle ou isocèle . A la réflexion , le résultat semble juste mais il faudrait plutôt prendre le problème à l'envers c'est à dire à l'endroit . Si on coupe en deux par une médiane un triangle qui n'est pas isocèle ou rectangle , l'un des deux morceaux sera de même . Il y a plusieurs cas à étudier mais ça semble tenir la route .

Imod

En effet ça marche

On peut éliminer le cas où la médiane est une hauteur car le triangle initial serait isocèle , il reste les 4 cas impossibles suivants :



1°) Le triangle est rectangle .
2°) Le triangle est plat .
3°) Problème d'alignement du milieu de la base .
4°) Même problème .

Imod  

C'est en gros ce que j'avais vu.
Mais ton message m'a fait prendre conscience du fait que je n'avais pas regardé le cas où la médiane est perpendiculaire à un des côtés issu du sommet d'où part la médiane.
Je vais regarder ça, j'ai l'impression que l'on obtient une découpe nécessairement infinie.

La suite au prochain numéro.

En effet , sauf erreur , mon précédent message montre qu'un triangle non isocèle et non rectangle génèrera à chaque découpe un triangle de même nature .

Imod