Bonjour, je fais cet exercice pour m'exercer :

Déterminer les couples d'entiers naturels
1) de pgcd 18 et de somme 360.
2) De même avec pgcd 18 et produit 6480.

Je possède aussi plus ou moins la correction :

Soient a et b des entiers naturels tel que pgcd(a,b)=18 et a+b=360
Soient a', b' les entiers naturels tq a=18a' et b=18b', a et b sont 1er entre eux et leurs somme est a'+b'=360/18=20

Et à partir de là la méthode utilisée par le correcteur ne me convient plus (la preuve c'est que vous verrez qu'il s'est lui-même trompé dans sa correction).

Soient a, b deux entiers de pgcd 18 et de somme 360. Soit

   Nous pouvons facilement énumérer tous les couples d'entiers naturels (a', b')
(a' < ou = à b') qui vérifient cette condition, ce sont les couples :
(1, 20), (3, 17), (6, 14), (7, 13), (8, 12), (9, 11).
   Pour obtenir les couples (a, b) recherchés (a < ou = à b), il suffit de multiplier les
couples précédents par 18 :
(18, 360), (54, 306), (108, 252), (126, 234), (144, 216), (162, 198).

Il ne donne pas la correction du 2) mais c'est encore plus difficile d'énumérer tous les couples d'entiers naturels
Ainsi n'auriez vous pas une méthode moins instinctive à me proposer ?


*Si vous n'avez pas remarquez l'erreur ce sont les couples (6, 14) et (8, 12) dont les nombres sont divisibles par 2, donc ce ne sont pas des couples de nombres premiers entre eux et donc ces couples ne vérifient pas les conditions.