Niveau exercices

Tous les projecteurs commutent!

Posté par
Ju007 24-08-07 à 23:30

Bonjour/Bonsoir à tous!

Regardez, je plaisante pas...

Soient p et q deux projecteurs d'un espace vectoriel E.

Soit $\large{x \in E}$

Comme tout le monde sait que E = Im(p) Ker(p) = Im(q) Ker(q)

On va donc décomposer x:
$\large{x = x_1 + x_2 \textrm{ avec } x_1 \in Im(q) \textrm{ et } x_2 \in Ker(q)}$

Puis on va faire de même avec x1 et x2 :
$\large{x_1 = x_{11} + x_{12} \textrm{ avec } x_{11} \in Im(p) \textrm{ et } x_{12} \in Ker(p)}$
$\large{x_2 = x_{21} + x_{22} \textrm{ avec } x_{21} \in Im(p) \textrm{ et } x_{22} \in Ker(p)}$

Maintenant on a
$\large{p o q (x) = p o q (x_1 + x_2) = p (x_{11} + x_{12}) = x_{11}}$
et
$\large{q o p (x) = q o p (x_{11}+x_{12}+x_{21}+x_{22}) = q (x_{11} + x_{21}) = x_{11}}$

Et par conséquent
$\Huge{\fbox{p o q = q o p}}$

Où est l'erreur?
J'avoue que quand j'ai fait cette démonstration, je comprenais plus rien à la vie, je ne voyais pas l'erreur... Elle est pas dure à trouver, mais quand on est parti dans le truc...

Réponse blankée siouplait