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Niveau maths spé
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tout hyperplan rencontre Gln(K)

Posté par
Yosh2
13-10-21 à 20:54

Bonjour
au dela de l' aspect technique de sa demonstration, j'essaie de comprendre intuitivement pourquoi le resultat est vrai , j'ai trouve le texte suivant, mais je n'arrive pas a le comprendre entierement .
'' Pour « éviter » GLn(K), il faut habiter GLn(K)^c = {M ∈ Mn(K) ; det M = 0} cette hypersurface possède l'épaisseur locale d'un hyperplan mais elle n'est pas hyperplane et ne peut donc laisser passer un hyperplan '' , pouvez vous m'aider a mieux le comprendre?
merci

Posté par
GBZM
re : tout hyperplan rencontre Gln(K) 13-10-21 à 21:14

Bonsoir,

Cette phrase me semble ridicule. Une sphère a l'épaisseur d'un plan et n'est pas plane, pourtant étant donné une sphère on peut bien trouver des plans qui ne la rencontrent pas.

Posté par
bernardo314
re : tout hyperplan rencontre Gln(K) 13-10-21 à 22:43

Bonsoir,

Oui GBZM  mais l'hypersurface passe par l'origine , l'hyperplan vectoriel aussi , ce qui n'est pas le cas de la sphère.
Disons que l'hyperplan et l'hypersurface ont même dimension...cependant elles n'ont pas le même degré donc je ne suis pas convaincu non plus...sauf si on montre que l'hypersurface est irréductible mais là on entre dans la preuve....

Posté par
GBZM
re : tout hyperplan rencontre Gln(K) 13-10-21 à 22:57

OK, j'ai mal compris la justification heuristique.

Posté par
Foxdevil
re : tout hyperplan rencontre Gln(K) 15-10-21 à 15:35

Salut,

Je me permets de remonter pour demander des précisions, car au risque de paraître teubé, je n'ai pas vraiment compris la remarque de GBZM ni même en quoi la réponse de bernardo314 est satisfaisante

Posté par
GBZM
re : tout hyperplan rencontre Gln(K) 15-10-21 à 15:48

Oublie ma remarque, je me suis fourvoyé.

Le complémentaire de GL_n(K) est une hypersurface de M_n(K). Si un hyperplan ne rencontre pas GL_n(K), il est contenu dans cette hypersurface et doit donc être une composante irréductible de cette hypersurface ...

Posté par
Foxdevil
re : tout hyperplan rencontre Gln(K) 15-10-21 à 15:55

Merci pour ta réponse. Qu'est-ce qu'une composante irréductible?

Posté par
GBZM
re : tout hyperplan rencontre Gln(K) 15-10-21 à 16:08

Bon, ça nous entraînerait un peu loin.

On peut raisonner algébriquement. On peut changer de coordonnées dans M_n(K) de façon que l'hyperplan ait comme équation x=0 ; notons \mathbf y les n^2-1 autres coordonnées.  Le déterminant est un polynôme en x,\mathbf y. On en fait la division euclidienne par x, le reste est un polynôme en \mathbf y qui s'annule tout le temps puisqu'on a supposé que le déterminant s'annule sur l'hyperplan. Ce reste est donc identiquement nul (pourvu que K soit infini).  L'équation de l'hyperplan est donc un facteur du déterminant.



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