Niveau Maths sup

trace d'une matrice carré et d'un endomorphisme

Posté par
nisha 19-04-07 à 11:44

bonjour!un nouveau problème mathématique sur l'algèbre linéaire.
I-trace d'une matrice carrée
on fixe n*. pour une matrice A=(a_i,j)_i,j=1...n M_n(), on appelle trace de A et on note tr(A) le réel tr(A)=ⁿ_i=1a_i,i , c'est-à-dire que tr(A) est la somme des éléments diagonaux de A.
ceci définit l'application tr: M_n()->
A -> tr(A)
1-montrer que tr est une forme linéaire sur M_n().
2-montrer que pour toutes A,BM_n(), tr(AB)=tr(BA).
3-soit AM_n().
a)calculer tr(A^tA) en fonction des coefficients de A.
b)montrer que tr(A^tA)=0A=(0)

je bloque à la question 3

Posté par re : trace d'une matrice carré et d'un endomorphisme 19-04-07 à 12:15

Bonjour,
essaies de calculer $A^tA$

Déja pour les deux premiers termes de la diagonale tu peux voir facilement que :

$(A^tA)_{1,1} = a_{1,1}^2 + a_{2,1}^2 + ... + a_{n,1}^2$ ,

$(A^tA)_{2,2} = a_{1,2}^2 + a_{2,2}^2 + ... + a_{n,2}^2$ ,

...

$(A^tA)_{n,n} = a_{1,n}^2 + a_{2,n}^2 + ... + a_{n,n}^2$ .

En sommant, tu as donc, $tr(A^tA) = \sum_{j=1}^n\ (\sum_{i=1}^n\ a_{i,j}^2)$

Posté par re : trace d'une matrice carré et d'un endomorphisme 19-04-07 à 12:16

la question b) se déduit du coup facilement

Posté par re : trace d'une matrice carré et d'un endomorphisme 19-04-07 à 12:27

quand je fais la somme pour le deuxième terme, j'obtiens
(A^tA)_2,2=a_1,1a_2,1+a_1,2a_2,2+a_1,3a_2,3+....+a_1,na_2,n

Posté par re : trace d'une matrice carré et d'un endomorphisme 19-04-07 à 12:35

ah oui, non je me suis trompée de ligne, c'est pour ça. toutes mes excuses, tu as raison! merci beaucoup

Posté par re : trace d'une matrice carré et d'un endomorphisme 21-04-07 à 17:11

re bonjour! toujours des ennuis avec la suite du problème.je n'arrive déjà pas à comprendre l'énoncé. la question 1, je l'ai faite, et après je nage un peu.

1-pour toute matrice AM_n(), on définit une application
_A: M_n()
   Mtr(AM)
Montrer que pour toute AM_n(), _A est une forme linéaire sur M_n().

2-d'après 1., on peut définir une application :M_n()L(M_n(),)
                                                                             A       _A.
a)montrer que est une application linéaire. (attention, il ne s'agit pas de montrer qu'elle _A est linéaire).

b)montrer que est injective.

c)montrer que est un isomorphisme.

3-dans cette question, on fixe une forme linéaire sur M_n().

a)justifier que !A]M_n(), /MM_n(), (M)=tr(AM)
on suppose à présent que: M,NM_n(), (MN)=(NM)

b)si on note A=(a_i,j)_1i,jn,calculer les coefficients a_i,j en fonction des (E_i,j). (les E_i,j désignent les n² matrices élémentaires de M_n()).

c)(i,j,k,l) [1,...,n]⁴, calculer E_i,iE_j,j

d)montrer que: ij, (E_i,j)=0

e)montrer que pour tous i,j[1,...,n],(E_i,i)=(E_j,j)

f)conclure que /=.tr

Posté par re : trace d'une matrice carré et d'un endomorphisme 21-04-07 à 19:16

personne n'a une idée? je voudrais juste comprendre l'énoncé, sans quoi c'est plutot difficile d'avancer. merci!

Posté par re : trace d'une matrice carré et d'un endomorphisme 21-04-07 à 19:48

Bonjour nisha

Pour la 2)a), il faut montrer que l'application $\Large{\theta}$ est linéaire donc que pour toutes matrices A et B et tout scalaire $\Large{\lambda}$ ,

$\Large{\varphi_{\lambda A + B}=\varphi_{\lambda A}+\varphi_{B}}$

Kaiser

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