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trace de la matrice d'un projecteur
bonjour,
j'ai ceci dans mon cours, et la démonstration nous en est demandée :
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, F et G deux sous espaces vectoriels tels que leur somme soit directe.
soit p : E->E le projecteur de E sur F parallèlement à G.
on a tr(p)=dimF
(c'est cela que l'on doit démontrer)
voilà ce que je propose :
puisque p est une projection on a pop=p.
si M est la matrice de p on a alors M.M=M ce qui voudrait dire que M est la matrice identité, or ce n'est pas le cas....
(c'est à partir de là que je commence à douter de mon raisonnement).
du coup, je voudrais savoir comment on trouve la matrice d'une projection (j'ai vraiment du mal avec ces notions de projections).
merci de votre aide pour cette démonstration.
M-Laure
bonsoir,
Ce serait bon, si M(n,k) était intègre...mais il ne l'est pas.
Prend la matrice de p dans une base adaptée à la décomposition
heu...
en fait je ne maitrise pas bien cette notion de projection...
j'ai compris qu'on cherchait l'image d'un point sur un espace en suivant la direction d'un autre espace.
(comme pour un projeté orthogonal, mais en plus compliqué).
j'ai cherché sur le net, je voulais trouver un exemple de projection avec des points, des coordonnées et des matrices qui les représentent, pour essayer de mieux comprendre...
mais je n'ai pas trouvé.
pourriez vous me donner cet exemple (au moins en énoncé que je puisse chercher dessus et essayer de comprendre).
merci.
Tu veux un exemple de projecteur? La projection orthogonale en est un bon exemple, ensuite la prjection quelconque revient à tronquer l'information.
Par exemple si dans une base e1,e2 les coordonnées de ton vecteur sont (x,y) alors la projection de ton vecteur sur e_1 parallèlement à e2 ce sera juste xe1.
alors puis-je dire que la matrice de cette projection est
1 0
0 0
et effectivement sa trace est 1 comme la dimension de F (dans ce cas là).
Oui c'est exactement ça et dans le cas general si tu prend une base de E qui soit adaptée à une somme directe F+G (c'est à dire que les premiers vecteurs forment une base de F et les derniers une base de G et la réunion une base de E) alors la matrice sera de la meme forme avec (dim F) 1 sur le haut de la diagonale, et (dim G) zeros sur le bas de la diagonale et des zeros partout ailleurs.
Par contre fait attention quand tu manipules des matrices cela ne se manipule pas tout a fait comme des réels...tu n'a pas a la commutativité et tu ne peux pas toujours simplifier...(d'ailleurs quand tu as pop=p tu ne simplifie pas pour avoir p=1...)
par contre si on a pop=p, cela signifie donc que la matrice qui représente p n'a que des 0 ou 1 en diagonale et des 0 ailleurs? (enfin si on diagonalise la matrice).
c'est pour cela que la trace de (p) est égale à la dimension de F ?
Bonjour.
Soit p un projecteur de rang r dans un espace vectoriel E de dimension n. Les propriétés classiques des projecteurs donnent :
1°) E = Im(p) 
Ker(p)
2°) x 
Im(p) 
p(x) = x.
Prenons une base de E adaptée à la somme directe :
BIm(p) = (e1 , . . . , er) une base de Im(p)
BKer(p) = (er+1 , . . . , en) une base de Ker(p)
BE = BIm(p) 
BKer(p)
Alors, :
Finalement, comme la trace ne dépend pas de la base, tr(p) = rg(p)
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