Que vaut (AB)_p,q ?

Merci etniopal, mais ta réponse n'est pas à la hauteur de l'aide demandée.

Ce que je souhaiterai, c'est qu'on me donne une vue d'ensemble des bonnes idées et de la méthode à suivre.

Merci à ceux qui sont disposés à le faire.  

Bonjour,

L'idée d'etniopal est pourtant la bonne...

Si on note le terme général de la matrice , on a



En particulier, pour , c'est-à-dire pour un terme diagonal, on a



La trace de est donc égale à

La trace de AB est donc égale à

Désolé, je ne mitrise pas bien Latex.

Merci, j'ai compris cette solution.

Pouvez vous me guider pour la question suivante ?

Désolé je dois partir

Salut à tous,

Pour la question 2, voila ce que je trouve. Est-ce exact ?

Pour toutes matrices carrées A et B (de même ordre) et pour tout scalaire α∊K, les propriétés suivantes sont vérifiées :

Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B)

Tr(A)   = Tr(A)  

donc est bilinéaire.

est symétrique si et seulement si pour tout A et B, on a :  (A,B) = (B,A).

or pour i et j variant de 1 à n :

   (A,B) = tr(AB) = a_ijb_ji

et (B,A) = tr(BA) = b_ija_ji

Comme on peut intervertir l'ordre des indices dans une sommation multiple,
ces deux sommes sont égales,
donc pour tout A et B, on a :  (A,B) = (B,A),
donc est symétrique.


  

Bonjour,
ce que tu dis est vrai, je suis juste gêné  par le « donc est bilinéaire ».
Il me semble qu'il faut préciser que (A,B)AB est bilinéaire.

Merci,

La question 3 me semble plus délicate :

3. Supposons à présent, A symétrique et B antisymétrique, Montrer alors:

(a) (A,A) 0,   (b) (B,B) 0    (c) (A,B) = 0.

Un coup de pouce pour démarrer svp
  

Sers-toi de la formule avec les coefficients pour a) et b). Pour c) tu peux utiliser que la trace d'une matrice est égale à la trace de sa transposée.

Merci Robot,

J'ai trouvé:

A est symétrique si et seulement si a_ji = a_ij pour tout (i; j).
B est antisymétrique si et seulement si b_ji = -b_ij pour tout (i; j).

Donc, on a:

(A,A) = a_ija_ji = a_ij² 0,

et

(B,B) = b_ijb_ji = - b_ij² 0.

Enfin
(AB) = a_ijb_ji
et comme la trace d'une matrice est égale à la trace de la transposée:
(^tAB) = a_ijb_ji et
(^tAB) = a_jib_ij
mais je n'arrive pas à conclure dans ce cas: faut-il utiliser le fait qu'on multiplie une matrice A symétrique par une matrice B asymétrique ? (que se passe t-il dans ce cas ? )

Si est symétrique et antisymétrique,

Bonsoir,

De façon générale, ^t(AB) = ^tB . ^tA

Dans le cas particulier ou A est symétrique et B antisymétrique, je crois
que ^t(A) = A et ^tB = -B

donc, je crois que   ^t(AB) = -(BA)

Quelle est la définition de matrice symétrique (resp. antisymétrique) ? Tu n'as pas l'air sûr.

Et que conclus-tu pour quand est symétrique et antisymétrique ?

Bonjour,

Une matrice carrée symétrique resp(antisymétrique) de dimension n est une matrice dont tous les éléments situés au dessus de la diagonale sont deux à deux égaux (resp opposés) aux éléments symétriques par rapport à la diagonale de cette matrice.

Supposons A symétrique, B antisymétrique et (A,B) 0 et tous les éléments de A et B positifs.

Si  (A,B) 0, alors Tr(AB) 0,

or on vient de montrer que ^t(AB) = -(BA) et on sait que les éléments diagonaux d'une matrice
sont invariants par transposition, donc positifs.

Tous les éléments du produit de la matrice (BA) sont positifs, donc tous les éléments du produit de matrices (-BA)
sont négatifs,

DONC CONTRADICTION avec l'hypothèse de départ du raisonnement.

DONC la proposition: pour tout A symétrique et B antisymétrique (A,B) 0 est fausse

DONC la proposition: pour tout A symétrique et B antisymétrique (A,B) = 0 est vraie.  

Une matrice symétrique (resp. antisymétrique) est une matrice carrée A telle que (resp. ).

Une matrice carrée symétrique  A est une matrice dont tous les éléments situés au dessus de la diagonale sont  égaux aux éléments symétriques sou la diagonale par rapport à la diagonale.

Une matrice carrée anti-symétrique  B est une matrice dont tous les éléments situés au dessus de la diagonale sont de valeurs opposés aux éléments symétriques sous la diagonale par rapport à la diagonale.

ma réponse à ta première question est-elle juste ?

La définition que tu donnes de matrice antisymétrique est ambigüe : quand tu dis "au-dessus de la diagonale", est-ce que ça comprend la diagonale ? Je préfère nettement la définition que je donne (la définition habituelle), qui a l'avantage d'être courte et sans ambigüité.

Peux-tu expliquer le passage que j'ai cité ?

j'ai essayer d'utiliser un raisonnement par l'absurde en partant de la proposition suivante
comme hypothèse:

Supposons que (A,B)0 dans tous les cas

Considérons les cas ou tous les éléments de A et B positifs et essayons de montrer qu'on arrive à une contradiction, ce qui permettrait de déduire que (A,B) = 0

Ce type de raisonnement est-il valable ici ?

Une matrice antisymétrique aurait du mal à avoir tous ses coefficients positifs.

Revenons sur une piste plus raisonnable. On suppose que est symétrique et antisymétrique.
On a vu que .
En déduire que la trace de est l'opposée de la trace de .
En déduire que la trace de est nulle.

Merci bien,

Je m'absente cette après-midi, mais je répondrai plus tard.

Bonne après-midi.  

Bonsoir

Bonsoir,

La transposition de matrice laisse la diagonale invariante,

donc Tr(AB) = Tr (-BA) = - Tr (BA)  par linéarité de la trace
donc Tr(AB) = 0

juste ?

Manque la mention de Tr(AB)=Tr(BA)

Bonsoir,

J'aimerai savoir si ce que j'ai répondu à la question 4 ci-dessous est correct ?

4. La forme ϕ est-elle dégénérée ? Est-ce un produit scalaire ?

Ce que j'ai écrit:

Si les deux matrices A symétriques et B symétriques sont nulles, tous leurs éléments sont nuls et il est clair que dans ce cas, on a ϕ(A,B) = 0.

Reste à savoir si il existe au moins une matrice A symétrique et une matrice B anti-symétrique non toutes deux nulles telles que   ϕ(A,B) = 0.

Si tel est le cas, on peut conclure que la forme ϕ est non-dégénérée.
Dans le cas contraire, on peut conclure que la forme ϕ est dégénérée.

Or ϕ(A,B)= Tr(AB), c'est-à-dire que la valeur prise par  par ϕ(A,B) est la somme des valeurs des coefficients la diagonale de la matrice produit (AB)

donc il reste à savoir si il existe au moins une matrice A symétrique et une matrice B anti-symétrique non toutes deux nulles telles que la somme des coefficients de la diagonale de la matrice (AB)  soit nulle.

Prenons A =  0 1   et    B =  0 1  ,  alors AB = -1 0
                     1 0                -1 0                        0 1

donc   Tr(AB) = -1 + 1 = 0.

DONC, il existe moins une matrice A symétrique et une matrice B anti-symétrique non toutes deux nulles telles que la somme des coefficients la diagonale de la matrice produit (AB)  soit nulle,
donc telle que ϕ(A,B) = 0

DONC, on conclut que la forme ϕ est non-dégénérée.

En quoi est-ce que ça répond à la question 4 ?

Qu'est-ce que ça veut dire, non dégénrée ?

Bonsoir,

Une forme bilinéaire est non-dégénérée si quel que soit x de E tel que, pour tout y de E, on a f(x,y)=0, alors x=0 (ie seul le vecteur nul est orthogonal (selon f) à tous les vecteurs de l'espace).

Et en quoi ce que tu dis montre que est non dégénérée ?

Bonjour,

Je voulais dire que la forme est donc dégénérée !

Ce que tu écris ne montre ni qu'elle est dégénérée, ni qu'elle est non dégénérée. Tu as l'air perdu dans le maniement des quantificateurs.
Montrer que est dégénérée, serait montrer qu'il existe une matrice non nulle telle que, pour toute matrice , (je n'ai fait que paraphraser la définition). Réfléchis : est-ce ce que tu as fait ?

Bonjour Robot,

Merci pour ton aide intensive.

Non, ce n'est pas ce que j'ai fait.

En fait, je n'avais pas compris la notion de forme dégénérée.

Je crois l'avoir compris maintenant.

je propose donc un nouveau raisonnement:

Comme on a montré dans la question 3(c) que pour toute matrice A symétrique et B antisymétrique, on a (A,B) = 0,
on peut déduire que pour toute matrice B antisymétrique, il existe
une matrice A symétrique (n'importe quelle matrice A symétrique) telle que  (A,B) = 0, donc
on montre ainsi que la forme est dégénérée.
    

Ta difficulté n'est pas avec l'algèbre linéaire ou bilinéaire : c'est en fait un problème de logique, relatif à la compréhension et à l'usage des quantificateurs. C'est plus embêtant.
Regarde :
Tu dis "Pour toute matrice antisymétrique , il existe une  matrice antisymétrique telle que "
et tu penses que ça montre ce qu'il y a à montrer, à savoir
"Il existe une matrice non nulle telle que, pour toute matrice , " ?
C'est un problème de logique important. Tant que tu ne seras pas au clair là-dessus, tu ne pourras pas produire de raisonnement qui tienne debout, que ce soit en algèbre linéaire ou sur n'importe quel autre sujet mathématique.

Encore un essai:

A est symétrique si et seulement si aji = aij pour tout (i; j).
B est antisymétrique si et seulement si bji = -bij pour tout (i; j).

Donc pour toute matrice B, si on choisit une matrice A dont tous les coefficients sont nuls
sauf deux égaux à 1 correspondants à un couple ij donné, tous les coefficients de la diagonale du produit AB
sont alors nuls sauf deux d'entre eux qui valent respectivement bji et -bij, donc dont la somme est nulle, donc tels que Tr(AB) = 0

Dans ce cas A et B vérifient (A,B) = 0.

sauf nouvelle erreur de logique !  

J'aimerais que tu me dises honnêtement si tu penses avoir montré, par l'argument que tu donnes ci-dessus, l'assertion suivante :

Il existe une matrice non nulle telle que, pour toute matrice , .

Honnêtement, je pense avoir montré, par l'argument que je donne ci-dessus, l'assertion suivante:

Il existe une matrice non nulle A symétrique M_n() telle que,
pour toute matrice B antisymétrique B M_n(), (A,B)=0.

D'abord, c'est alors extrêmement mal formulé : relis-toi, tu écris "pour toute matrice B, si on choisit une matrice A" (autrement dit, pour tout B (antisymétrique), il existe A (symétrique)... ce qui est complètement différent de il existe A tel que pour tout B etc.)
Ensuite, est-ce que ça veut dire que est dégénérée ?

Effectivement.

On sait que (AB) = a_ijb_ji

Je choisis A une matrice symétrique composée uniquement de coefficients égaux à 1

Alors pour toute matrice symétrique B, on a (AB) = a_ijb_ji = b_ji = 0

or  Montrer que est dégénérée, serait montrer qu'il existe une matrice A non nulle telle que, pour toute matrice B, (A,B)=0

donc est dégénérée.

Ca tourne en eau de boudin, et je ne vois pas que tu prennes le bon chemin.

Alors, pour abréger : est non dégénérée. On le vérifie en réalisant que pour toute matrice A\in M_n(\R), si A est non nulle, alors \varphi(A,{}^tA)= \mathrm{Tr}(A\,{}^tA)= \sum_1\leq i,j\leq n a_{i,j}^2 >0.

Parti trop vite :
est non dégénérée. On le vérifie en réalisant que pour toute matrice , si est non nulle, alors .

Bonsoir Robot,

Merci beaucoup pour ta patience et tes explications.

Je vais essayer de consolider mes connaissances et combler mes lacunes.

Bonjour,

Je pense avoir compris la correction de Robot à la question 4:

La forme est-elle dégénérée ?

J'ai essayé de répondre à la suite de la question:

4. Est- elle un produit scalaire en écrivant:

D' après le cours si la forme ϕ bilinéaire symétrique est définie positive, elle
est non-dégénérée, or on vient de montrer que ϕ est dégénérée, donc elle n'est pas définie positive.

On en déduit que ϕ n'est pas un produit scalaire.

Cette réponse est-elle valable ?

est dégénérée ou non dégénérée ?
Tu donnes l'impression d'écrire des trucs au hasard.

Merci,

Tu as raison, je me suis encore trompé !

Je vais encore m'absenter, mais dès que possible, je vais me remettre au travail

Salut,

Je suis de retour.

Une forme à deux variables est dite définie positive si et seulement si pour tout vecteur non nul x, l'image de (x,x) est strictement positive.

Or d'après la question 3, on a montré que pour tout B antisymétrique non nul, on a:(B,B) 0,

DONC la forme n'est pas définie positive,

DONC la forme est bilinéaire symétrique mais pas définie positive,

DONC la forme n'est pas un produit scalaire.

juste ?

  

Oui. Mais ça serait mieux si tu pouvais juger toi-même de la justesse de tes arguments.

Merci beaucoup Robot pour ton aide qui m'a appris pas mal de choses
sur un sujet très difficile à mon niveau.

Je vais pouvoir terminer la rédaction de mon DM et passer à un autre devoir.