bonsoir
1) on marque le point N [ST] tel que RSN soit un triangle isocéle en S
2) on marque le point M [RT] tel que RM = NT
3) A est le milieu de [TM]

Bonjour,
Merci beaucoup de vous être interressé a mon exo. Vous avez trouvé mais je ne sais pas comment expliquer pourquoi on fait comme ca. Est ce que vous pouvez me le dire? merci

Celui qui a trouvé le premier une telle construction devait être bien malin !
Pour tenter de comprendre sa démarche, on peut raisonner ainsi.

Supposons le problème résolu. La figure représente le triangle SRT avec le point A sur RT tel que le périmètre Pr du triangle SAR est égal au périmètre Pt du triangle SAT. Le point M est placé sur RA avec MA = AT, et le point N sur ST tel que SN = SR.
Imaginons que le triangle SAT se détache du triangle SAR et vienne se coller au-dessous de ce dernier, en entraînant avec lui le point N.
Si on appelle S ' A 'T ' le triangle SAT déplacé, c'est la droite  S ' T ' qui vient se confondre avec la droite RA, le point T' se trouvant confondu avec le point M, et le point N' (correspondant au point N) avec le point R.
RS = Pr - (RA + AS)
N ' S ' = Pt - (N 'T ' + A 'T ' + A ' S ') = Pt -( RM + MA + AS ) = Pt -( RA + AS).
Comme Pr = Pt, on a  RS = N 'S ' = NS.
D'où la construction  proposée par khoukha.

Merci beaucoup pour votre aide, c'est super gentil. A bientot