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tracés de droites et parallélogrammes

Posté par
bilbo
06-10-20 à 18:33

***Bonjour***

On m'a posé le problème suivant:

On trace deux droites parallèles selon une première direction, puis trois droites parallèles selon une deuxième direction (différente de la première), puis quatre droites parallèles selon une troisième direction (différente des deux précédentes).
À ce stade, on a tracé au total 9 droites et on observe 27 parallélogrammes dessinés sur la figure. On poursuit alors la construction de la figure en suivant le même procédé.

Combien doit-on tracer de droites au minimum pour que le nombre de parallélogrammes dessinés soit multiple d'un million ?

Quelqu'un peut m'aider?

**forum modifié**

Posté par
verdurin
re : tracés de droites et parallélogrammes 07-10-20 à 16:01

Bonsoir,
en cherchant la formule donnant le nombre de parallélogrammes en fonction du nombre n de droites dans la dernière série de parallèles on peut voir qu'il va falloir tracer beaucoup de droites pour que le nombre de parallélogrammes soit un multiple d'un million.

En traçant 4\,999\,999\,949\,999\,999 droites on trouve 13\,888\,887\,805\,555\,586\,111\,110\,736\,111\,112\,916\,666\,665\,000\,000 parallélogrammes.
Et je crois que c'est la plus petite valeur qui convient.

Posté par
bilbo
re : tracés de droites et parallélogrammes 07-10-20 à 17:47

Ce n'est pas la bonne solution.
peux-tu indiquer comment tu est arrivé à ce résultat?

Posté par
verdurin
re : tracés de droites et parallélogrammes 07-10-20 à 19:30

Quand une famille de n droites parallèles coupe une famille de m droites parallèles on obtient un parallélogramme en prenant 2 droites distinctes dans la première famille et 2 dans la seconde famille.

On a donc \dfrac{n(n-1)}2\times \dfrac{m(m-1)}2 parallélogrammes distincts.
Ensuite j'ai additionné les cas.

Si on rajoute 5 droites parallèles ayant une direction distincte des trois premières à ton exemple on ajoute
101 + 103 + 106 parallélogrammes aux 27 déjà obtenus.
En traçant 14 droites on a 127 parallélogrammes.

J'ai bien entendu trouvé une formule pour calculer ce nombre.

Mais je serais curieux d'avoir ta réponse.

Posté par
bilbo
re : tracés de droites et parallélogrammes 09-10-20 à 19:18

je ne connais pas la réponse mais on m'a dit que celle que tu donné n'est pas la bonne

Posté par
verdurin
re : tracés de droites et parallélogrammes 09-10-20 à 22:19

Je me suis peut-être trompé quelque part dans mon calcul.
Ça ne serait pas vraiment la première fois.

Mais je ne peut pas discuter avec un « on » dont je ne sais rien, il est aussi possible que « on » se trompe.
Peut-être peux tu demander à « on » si il ou elle est d'accord avec mon second message ?

Posté par
verdurin
re : tracés de droites et parallélogrammes 09-10-20 à 22:27

Il me vient une question :
le nombre de parallélogrammes doit-il être un multiple de un million ou bien plus grand qu'un million ?
Parce que si c'est le second cas, il suffit de tracer 209 droites.

Posté par
verdurin
re : tracés de droites et parallélogrammes 10-10-20 à 19:24

Correction

verdurin @ 09-10-2020 à 22:27

[ . . . ]Parce que si c'est le second cas, il suffit de tracer 209 230 droites.

Posté par
dpi
re : tracés de droites et parallélogrammes 11-10-20 à 11:14

Bonjour,
J'ai un petit souci avec les  parallélogrammes  car suivant la position des croisements  on obtient des triangles ,des  polygones à 5 ou 6 cotés.......

Posté par
derny
re : tracés de droites et parallélogrammes 11-10-20 à 11:41

Bonjour
Oui dpi mais il ne faut tenir compte que des parallélogrammes . Tu peux t'arranger pour n'obtenir que des parallélogrammes  (au niveau des croisements de faisceaux) au moins jusqu'à n=6. Après aussi mais il faut "une grande feuille" pour dessiner ...

Posté par
derny
re : tracés de droites et parallélogrammes 12-10-20 à 10:12

Bonjour
verdurin pour 5 droites j'arrive à 128 soit 1 de plus que toi. Je commence à compter les différents cas pour essayer ensuite d'en tirer une formule. Es tu sûr de 127 ?

Posté par
derny
re : tracés de droites et parallélogrammes 12-10-20 à 10:15

Excuse je trouve 127 (erreur d'addition faite de tête).

Posté par
derny
re : tracés de droites et parallélogrammes 12-10-20 à 11:02

verdurin, j'ai compté vite fait pour n=6 et je trouve 419.  Peux-tu confirmer ce résultat avant que je poursuive (j'ai peur d'en avoir oubliés) ?

Posté par
verdurin
re : tracés de droites et parallélogrammes 12-10-20 à 18:34

Salut derny.
J'en trouve 427.
Le calcul :

 Cliquez pour afficher

Posté par
verdurin
re : tracés de droites et parallélogrammes 12-10-20 à 18:38

Une remarque :
j'ai dit que j'avais trouvé une formule.
C'est vrai mais un peu prétentieux. En fait j'ai fait faire les calculs par Xcas.

Posté par
derny
re : tracés de droites et parallélogrammes 12-10-20 à 20:27

Merci verdurin, je vais recompter.

Posté par
jandri Correcteur
re : tracés de droites et parallélogrammes 12-10-20 à 22:19

Bonjour,
je trouve les mêmes résultats que verdurin, nous devons avoir la même formule !
Je ne l'ai pas calculée avec Xcas mais avec Maple.
On peut faire les calculs à la main mais c'est un peu plus long qu'avec un logiciel de calcul formel !

Posté par
verdurin
re : tracés de droites et parallélogrammes 12-10-20 à 23:09

Salut jandri.
Un peu plus long est un bel euphémisme.

Posté par
derny
re : tracés de droites et parallélogrammes 13-10-20 à 01:16

Vu, d'accord. La formule est :

* Modération > Image effacée. Merci d'utiliser les outils mis à ta disposition pour écrire les formules mathématiques *

Posté par
derny
re : tracés de droites et parallélogrammes 13-10-20 à 09:51

Bonjour
La formule explicite est :

** image supprimée **

Posté par
derny
re : tracés de droites et parallélogrammes 13-10-20 à 09:53

Oui mais je n'arrive pas à bien me servir du Latex

Posté par
derny
re : tracés de droites et parallélogrammes 13-10-20 à 09:53

(n/4) ((n^5)/18 - (n^4)/10 - (n^3)/9 + (n^2)/6 + n/18 - 1/15) = Nb

Posté par
derny
re : tracés de droites et parallélogrammes 13-10-20 à 10:12

Nb=\left\frac{n}{4} \right\left(\frac{^{n^{5}}}{18} \right-\frac{^{n^{4}}}{10}-\frac{n^{3}}{9}+\frac{n^{2}}{6}+\frac{n}{18}-\frac{1}{15})
OK mais vous m'obligez à refaire un travail dans un langage que je maîtrise mal

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : tracés de droites et parallélogrammes 13-10-20 à 10:24

Bonjour,
@derny,
Moi aussi j'ai été longtemps réticente pour utiliser Latex
D'ailleurs, quand ça reste lisible, je me contente des symboles des boutons avec aussi X2 et X2.

En cas de nécessité, j'utilise le bouton LTX avec des points rouges que je trouve assez convivial.
Petit manque : pas d'accès à "/dfrac", seulement à "/frac" qui fait des petites fractions.
Il faut rajouter le "d " à la main.

Posté par
verdurin
re : tracés de droites et parallélogrammes 13-10-20 à 23:17

Salut derny.
Je trouve la même formule que toi sous la forme :

\dfrac{n(n+1)(n-1)(n-2)(5n^2+n-3)}{360}

Posté par
derny
re : tracés de droites et parallélogrammes 13-10-20 à 23:55

Oui, c'est mieux de la présenter sous forme de produits.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : tracés de droites et parallélogrammes 14-10-20 à 07:55

Bonjour,
En relisant les premiers messages de ce sujet, je vois que \; n \; joue un rôle différent selon l'intervenant.
Pour bilbo, c'est le nombre total de droites tracées.
Pour les autres, c'est "le nombre n de droites dans la dernière série de parallèles".

Le nombre total de droites est \;N =\dfrac{n(n+1)}{2}-1 = \dfrac{(n-1)(n+2)}{2} .

Posté par
GBZM
re : tracés de droites et parallélogrammes 14-10-20 à 09:38

bilbo @ 06-10-2020 à 18:33


Combien doit-on tracer de droites au minimum pour que le nombre de parallélogrammes dessinés soit multiple d'un million ?


Bonjour,

Si on se contente des deux droites parallèles tracées dans un premier temps, on a 0 parallélogramme et 0 est bien multiple d'un million.
J'ai gagné ?

Posté par
derny
re : tracés de droites et parallélogrammes 14-10-20 à 09:43

Bonjour
Oui, il faut différencier les "2 sortes" de n. Le nombre de droites n'est qu'une somme de PA. Par contre le nombre de parallélogrammes m'a demandé plusieurs heures.
bilbo n'a pas répondu à : "qui est ce on qui conteste ?". Et, est-il convaincu à présent de la réponse trouvée ?

Posté par
GBZM
re : tracés de droites et parallélogrammes 14-10-20 à 10:24

Plus fort : si on trace 0 droite, le nombre de parallélogrammes dessinés est bien multiple d'un million.

Posté par
GBZM
re : tracés de droites et parallélogrammes 14-10-20 à 18:05

Et si on insiste pour que le nombre de parallélogrammes soit un multiple non nul d'un million, alors il "suffit" d'aller jusqu' à n=1328127, ce qui fait 881961328127 droites et 76226249023083672298161505636000000 parallélogrammes.

Posté par
verdurin
re : tracés de droites et parallélogrammes 14-10-20 à 21:23

Salut GBZM.
Je crois que tu as gagné avec n=0.

Posté par
bilbo
re : tracés de droites et parallélogrammes 21-10-20 à 22:53

Bravo GBZM
LA bonne réponse est bien 881961328127 droites.

Posté par
GBZM
re : tracés de droites et parallélogrammes 21-10-20 à 23:18

Quelques petites lignes de python suffisaient.

p=3 # nombre de parallélogrammes 
q=4 # nombre de paires de droites parallèles
n=3 # nombre de droites parallèles du dernier paquet
while p%10**6 != 0 :
    n += 1
    d = (n*(n-1))//2
    p = p + q*d
    q = q + d
n,(n-1)*(n+2)//2,p


retour :

(1328127, 881961328127, 76226249023083672298161505636000000)

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