***Bonjour***
On m'a posé le problème suivant:
On trace deux droites parallèles selon une première direction, puis trois droites parallèles selon une deuxième direction (différente de la première), puis quatre droites parallèles selon une troisième direction (différente des deux précédentes).
À ce stade, on a tracé au total 9 droites et on observe 27 parallélogrammes dessinés sur la figure. On poursuit alors la construction de la figure en suivant le même procédé.
Combien doit-on tracer de droites au minimum pour que le nombre de parallélogrammes dessinés soit multiple d'un million ?
Quelqu'un peut m'aider?
**forum modifié**
Bonsoir,
en cherchant la formule donnant le nombre de parallélogrammes en fonction du nombre n de droites dans la dernière série de parallèles on peut voir qu'il va falloir tracer beaucoup de droites pour que le nombre de parallélogrammes soit un multiple d'un million.
En traçant droites on trouve parallélogrammes.
Et je crois que c'est la plus petite valeur qui convient.
Quand une famille de n droites parallèles coupe une famille de m droites parallèles on obtient un parallélogramme en prenant 2 droites distinctes dans la première famille et 2 dans la seconde famille.
On a donc parallélogrammes distincts.
Ensuite j'ai additionné les cas.
Si on rajoute 5 droites parallèles ayant une direction distincte des trois premières à ton exemple on ajoute
101 + 103 + 106 parallélogrammes aux 27 déjà obtenus.
En traçant 14 droites on a 127 parallélogrammes.
J'ai bien entendu trouvé une formule pour calculer ce nombre.
Mais je serais curieux d'avoir ta réponse.
Je me suis peut-être trompé quelque part dans mon calcul.
Ça ne serait pas vraiment la première fois.
Mais je ne peut pas discuter avec un « on » dont je ne sais rien, il est aussi possible que « on » se trompe.
Peut-être peux tu demander à « on » si il ou elle est d'accord avec mon second message ?
Il me vient une question :
le nombre de parallélogrammes doit-il être un multiple de un million ou bien plus grand qu'un million ?
Parce que si c'est le second cas, il suffit de tracer 209 droites.
Correction
Bonjour,
J'ai un petit souci avec les parallélogrammes car suivant la position des croisements on obtient des triangles ,des polygones à 5 ou 6 cotés.......
Bonjour
Oui dpi mais il ne faut tenir compte que des parallélogrammes . Tu peux t'arranger pour n'obtenir que des parallélogrammes (au niveau des croisements de faisceaux) au moins jusqu'à n=6. Après aussi mais il faut "une grande feuille" pour dessiner ...
Bonjour
verdurin pour 5 droites j'arrive à 128 soit 1 de plus que toi. Je commence à compter les différents cas pour essayer ensuite d'en tirer une formule. Es tu sûr de 127 ?
verdurin, j'ai compté vite fait pour n=6 et je trouve 419. Peux-tu confirmer ce résultat avant que je poursuive (j'ai peur d'en avoir oubliés) ?
Une remarque :
j'ai dit que j'avais trouvé une formule.
C'est vrai mais un peu prétentieux. En fait j'ai fait faire les calculs par Xcas.
Bonjour,
je trouve les mêmes résultats que verdurin, nous devons avoir la même formule !
Je ne l'ai pas calculée avec Xcas mais avec Maple.
On peut faire les calculs à la main mais c'est un peu plus long qu'avec un logiciel de calcul formel !
Vu, d'accord. La formule est :
* Modération > Image effacée. Merci d'utiliser les outils mis à ta disposition pour écrire les formules mathématiques *
Bonjour,
@derny,
Moi aussi j'ai été longtemps réticente pour utiliser Latex
D'ailleurs, quand ça reste lisible, je me contente des symboles des boutons avec aussi X2 et X2.
En cas de nécessité, j'utilise le bouton LTX avec des points rouges que je trouve assez convivial.
Petit manque : pas d'accès à "/dfrac", seulement à "/frac" qui fait des petites fractions.
Il faut rajouter le "d " à la main.
Bonjour,
En relisant les premiers messages de ce sujet, je vois que n joue un rôle différent selon l'intervenant.
Pour bilbo, c'est le nombre total de droites tracées.
Pour les autres, c'est "le nombre n de droites dans la dernière série de parallèles".
Le nombre total de droites est .
Bonjour
Oui, il faut différencier les "2 sortes" de n. Le nombre de droites n'est qu'une somme de PA. Par contre le nombre de parallélogrammes m'a demandé plusieurs heures.
bilbo n'a pas répondu à : "qui est ce on qui conteste ?". Et, est-il convaincu à présent de la réponse trouvée ?
Plus fort : si on trace 0 droite, le nombre de parallélogrammes dessinés est bien multiple d'un million.
Et si on insiste pour que le nombre de parallélogrammes soit un multiple non nul d'un million, alors il "suffit" d'aller jusqu' à n=1328127, ce qui fait 881961328127 droites et 76226249023083672298161505636000000 parallélogrammes.
Quelques petites lignes de python suffisaient.
p=3 # nombre de parallélogrammes
q=4 # nombre de paires de droites parallèles
n=3 # nombre de droites parallèles du dernier paquet
while p%10**6 != 0 :
n += 1
d = (n*(n-1))//2
p = p + q*d
q = q + d
n,(n-1)*(n+2)//2,p
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