Bonjour !

Qu'est-ce que le déterminant ? Quel est son ensemble de définition ? Dans quel ensemble les images se trouvent-elles ? Ces ensembles sont-ils des groupes, des anneaux, des corps (et pour quelles lois ?) ?

Comment appelle-t-on une application - avec et deux groupes -, vérifiant :

?

Bonjour,
Sauf que l'ensemble de toutes les matrices carrées de taille donnée n'est pas un groupe pour la multiplication.

Bonjour GBZM,

Je suppose que l'on parle implicitement des matrices inversible... 🙄

Bonsoir,
l'ensemble des matrices carrées de taille n donné est un monoïde.

Le déterminant n'est pas défini que pour les matrices inversibles. Et l'égalité n'est pas vraie que pour les matrices inversibles.

Je le sais bien... Mais le fait que invite à considérer une partie de qui soit un groupe multiplicatif... Je mets ma main à couper que la réponse attendue est que le déterminant réalise un morphisme de groupes (surjectif) de sur ...

Et pourquoi pas, puisque le terme "monoïde" figure dans l'énoncé, un morphisme de monoïdes du monoïde multiplicatif sur le monoîde multiplicatif ?
Une main coupée, c'est embêtant.

On verra quelle aura été la réponse attendue 😛

Je suis sur le fond d'accord avec toi, mais pas certain que dans le cadre d'une licence on insiste sur autre chose que des morphismes de groupes, ou d'anneaux (ou de corps), même si la notion de monoïde est évidemment vue.

On peut par ailleurs remarquer qu'un morphisme de groupes n'est pas autre chose qu'un morphisme de monoïdes entre groupes.