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tranformée de Laplace

Posté par
francknvs
18-04-12 à 01:58

bonsoir,
je debute dans ce domaine
voici quelques transformées de laplace
pour les faciles je pense que c'est de l'application de cours pure et dure c'est ce que j'ai appliqué (je ne vois pas de piege..)
en revanche pour la "costaud" et son application en physique , je la trouve un peu compliquée.

par avance je vous remercie de vos suggestions et réponses, toutes orientations qui puissent m'aider pour aborder une bonne methode de resolution.

simple

1/Résoudre:

y'(t)-y(t)=0
y(0)=1

2/Résoudre:

R.q'(t)+\frac{1}{C}.q(t) =0
q(0)=q0

3/Résoudre:

y''(t)+4y(t)=0
y(0)=1
y'(0)=0

costaud

Citation :

l'étude d'un circuit électrique dans lequel la tension de sortie « s » est régie par
l'équation différentielle suivante :

\frac{1}{w²}.\frac{d²S(t)}{dt²}+2.\frac{m}{w}.\frac{dS(t)}{dt}+S(t)=1
  s(0)=0              
  \frac{dS(t)}{dt}=0

où "w" et "m" reels strictement positfs
on note "S" la transformée de laplace de la fonction "s"


A/Appliquer la transformation de Laplace au système et en déduire que, pour tout réel p strictement positif :
S(p)= \frac{w²}{p(p²+2.m.w.p+w²}

B/Dans cette question, m = 1 :

Prouver que S(p)=\frac{1}{p}-\frac{1}{p+w}-\frac{w}{p²+2.w.p} puis déterminer s(t) pour t [0;+]

C/ m= \frac{racine2}{2}
déterminer s(t) pour t [0;+]

encore merci

Posté par
PIL
re : tranformée de Laplace 19-04-12 à 16:43

Bonjour,

A) Avec les conditions initiales nulles l'équation transformée est

  \rm (1/\omega^2)p^2S(p) + 2(m/\omega)pS(p) + S(p) = 1/p

Tu en déduis la valeur proposée pour S(p).

B) Avec m = 1 tu as

  \rm S(p) = \frac{\omega^2}{p(p+\omega)^2}

que tu décomposes en "fractions simples":

  \rm S(p) = \frac{\omega^2}{p(p+\omega)^2} = \frac{A}{p} + \frac{B_1}{p+\omega} + \frac{B_2}{(p+\omega)^2}

A toi !

  

  

Posté par
francknvs
re : tranformée de Laplace 25-04-12 à 23:01

pour B

B/Dans cette question, m = 1 :

Prouver  que   S(p)=\frac{1}{p}-\frac{1}{p+w}-\frac{w}{p²+2.w.p}    puis  déterminer  s(t)  pour  t [0;+]

selon ta proposition, rien ne prouve que
A=1
B1=-1
B2=W

J'ai tout mis au meme denominateur puis essayer d'identifier les numerateurs entre chaque partie de l'egalité et je n'arrive pas à trouver

w²= AP3+B1P3+2AWP2+AWP²+2B1WP²+APW²+2APW²+AW3+B1PW²+B2P+B2WP

je ne sais que regrouper: soit les membre en p ou les membres en W

par avance merci

Posté par
PIL
re : tranformée de Laplace 26-04-12 à 09:54

Bonjour !

Je pense qu'il y a une erreur dans

"Prouver que S(p)=\frac{1}{p}-\frac{1}{p+w}-\frac{w}{p²+2.w.p}     puis ..."

le troisième dénominateur est   \rm p^2 + 2p\omega + \omega^2  =  (p + \omega)^2 .

La décomposition en fractions simples que je te propose ci-dessus conduit à

\rm \omega^2 = A(p+\omega)^2 + B_1p(p+\omega) + B_2p = (A+B_1)p^2 + (2\omega A + \omega B_1 + B_2)p + \omega^2 A

et tu identifies les coefficients des puissances de p !

Posté par
francknvs
re : tranformée de Laplace 26-04-12 à 10:50

bonjour PIL,
je viens de "checker"....
YES!!!!!!!!!!!!!!!!!

il y a bien une erreur au 3me denominateur, c'est bien p²+2pw+w²

vraiment desolé,je suis navré, j'ai perdu autant de temps pour une erreur d'ecriture.

je recommence tout je vais essayer avec la QC , et je te recontact.


merci

Posté par
francknvs
re : tranformée de Laplace 27-04-12 à 01:42


déterminer s(t) pour t [0;+]:
soit:

S(p)=\frac{1}{p}-\frac{1}{p+w}-\frac{w}{(p+w)²}

application du formulaire de Laplace:

S(t)= 1- exp(-wt) - wt.exp(-wt)

-------------------------------------------------------------


donc, pour la question C (càd m = \frac{Sqrt2}{2})

S(p)= \frac{w²}{p(p²+Sqrt2*w*p+w²)}

en decomposant:

S(p)= \frac{w²}{p(p²+Sqrt2*w*p+w²)}=  \frac{A}{p}+\frac{Bp+C}{p²+Sqrt2.w.p+w²}

pour A=1
pour B=-1
pour C= -w.Sqrt2

ainsi
s(p)= \frac{1}{p}-\frac{p+w.Sqrt2}{p²+Sqrt2.w.p+w²}

déterminer s(t) pour t [0;+]
:

mis à part \frac{1}{p}1

je ne vois rien dans le formulaire ce qui pourrait correspondre à
\frac{p+w.Sqrt2}{p²+Sqrt2.w.p+w²}

par avance, merci



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