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Transformations affines du plan.

Posté par
barka54
25-06-20 à 19:20

Bonjour,
Besoin d'un coup de main pour cet exercice:

A et B sont deux points du plan tels que AB=4cm. C et D sont deux points qui n'appartiennent pas à la droite (AB) tels que  \vec{AB}=2\vec{DC} .
(C) est le cercle de centre O de diamètre [AB].
1) Si h est l'homothétie qui transforme A en C et B en D:
a) Déterminer le centre et le rapport de l'homothétie.
b)Quel est l'image de (C) par l'homothétie h?
2) On considère que r(Ω,α) est la notation d'une rotation de centre Ω et d'angle α.
a) Déterminer et construire la droite (D) telle que r(A, -2π/3)=S_{(AB)}°S_{(D)}
b) Déterminer et construire la droite (D') telle que r'(B, -2π/3)=S_{(D')}°S_{(AB)}.
c) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f=r'°r.

Mon début
1)
a)Le centre de cette homothétie est un point T , point de rencontre entre (AC) et (BD). En appliquant le théorême de Chasles, je trouve que son rapport est k=½.
b) L'image de (C) est un cercle (C') de centre K et de rayon R=2cm.
2)a)  (D) est la sécante à (AB) tel que si u est le vecteur directeur de (D) et u' celui de (AB), l'angle entre ces deux vecteurs est θ=-π/3.
b) Si u'' est le vecteur directeur de (D'), la droite (D') est sécante à (AB) tel que mes(u';u'')=-π/3.
c) je sais néanmoins que la composée de ces deux rotations de centres distincts est une rotation dont l'angle est -2π/3 +(-2π/3)=-4π/3...
Mais j'en sait pas trop à propos de son centre...

Posté par
barka54
re : Transformations affines du plan. 25-06-20 à 19:39

Pour la q2.c) En admettant que f=S(D')°S(AB)°S(AB)°S(D)=S(D')°S(D)
Donc f est une rotation d'angle -2π/3 et de centre (...) que j'arrive pas à determiner!

Posté par
barka54
re : Transformations affines du plan. 25-06-20 à 19:39

Pour la q2.c) En admettant que f=S(D')°S(AB)°S(AB)°S(D)=S(D')°S(D)
Donc f est une rotation d'angle -2π/3 et de centre (...) que j'arrive pas à determiner!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Transformations affines du plan. 25-06-20 à 20:37

Bonjour,
Tu sais peut-être qu'avec une homothétie de rapport k on a \; \vec{A'B'} = k.\vec{AB} , avec A' et B' les images de A et B.
Ton k du 1)a) est donc faux.
Pour 1)b), le cercle image contient A' et B'. Tu peux donc être plus précis dans 1)b).

Posté par
barka54
re : Transformations affines du plan. 25-06-20 à 21:03

1.a) k serait alors -½ ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Transformations affines du plan. 25-06-20 à 22:03

Pourquoi ce point d'interrogation ?
Quelle est la relation qui lie le vecteur \; \vec{CD} \; au vecteur \; \vec{AB} \; ?
As-tu dans ton cours la propriété \; \vec{A'B'} = k.\vec{AB} \; ?
Sinon, il faut la redémontrer dans le contexte de l'exercice.

Je ne vais plus être disponible avant demain soir.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Transformations affines du plan. 25-06-20 à 23:09

Bonsoir, au besoin je suis là .

il faut écrire explicitement qui est A' et qui est B'
A' c'est C
B' c'est D

CD =k AB (en vecteurs)
or l'énoncé dit AB = 2DC = -2CD
donc la valeur de k, sans points d'interrogation.

Posté par
barka54
re : Transformations affines du plan. 25-06-20 à 23:41

la valeur de k est donc -2

Posté par
mathafou Moderateur
re : Transformations affines du plan. 25-06-20 à 23:53



AB = -2 CD ça fait :

CD = -1/2 AB
CD = k AB

Posté par
barka54
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 06:08

Okay, je vois...

Posté par
barka54
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 06:34

le rapport de cette homothétie est -1/2

Posté par
mathafou Moderateur
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 06:51

oui, c'était le point d'interrogation qui était en trop comme si tu avais un doute

la 1b il faut préciser exactement le cercle image
parce que des cercles de rayon 2cm , il y en a une infinité.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 06:53

et ce sera pareil pour 2a) "l'angle entre ces deux vecteurs" manque de précision

Posté par
barka54
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 07:27

1-b) Le cercle image a pour centre O'(milieu de [DC]) image de O par h et de rayon 2cm.

Posté par
barka54
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 07:30

2.a) je voudrais dire que l'angle formé par ces deux droites est tel que mes(u,u')=-π/3.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 07:44

1b) sans ajouter de points O et O' supplémentaire que pourrais tu dire d'autre sur ce cercle de centre le milieu de [DC[ ?

2a) OK, l'ordre des vecteurs est important

2c) faudrait savoir ...
c) je sais néanmoins que la composée de ces deux rotations de centres distincts est une rotation dont l'angle est -2π/3 +(-2π/3)=-4π/3...
puis (en double) :
Donc f est une rotation d'angle -2π/3 et de centre (...) que j'arrive pas à déterminer !

cours : la composition de deux symétries axiales est une translation ou bien une rotation de centre parfaitement déterminé.

mais peut être te laisses tu influencer par une figure fausse que tu aurais faite ?

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?

(uniquement des figures)

Posté par
barka54
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 14:44

1-b) le cercle image a pour diamètre [DC]....


voici la figure que j'ai faite:

Transformations affines du plan.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 15:12

D et D' sont fausses (et j'aurais imaginé une autre erreur que ça !! là c'est basique !!)
c'est pour ça que tu n'y arrives pas.

Citation :
cours : la composition de deux symétries axiales est une translation ou bien une rotation de centre parfaitement déterminé.
revois dans le cours où est le centre de la rotation obtenue quand on compose deux symétries axiales.

ça sert dans les deux sens :
pour trouver les axes connaissant le centre
(pour tracer correctement D et D')

et inversement pour trouver le centre connaissant les deux axes (la question 2c)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 15:43

aide peut être :
dans la question 2a toute seule, tracer (D)

Transformations affines du plan.

tout le reste ne sert absolument à rien dans cette question.
(M est un point quelconque du plan uniquement pour illustrer  la rotation
il ne sert à rien d'autre, en particulier pas non plus à construire (D))

Posté par
barka54
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 16:48

D'après le cours, le centre de la rotation obtenue quand on
compose deux symétries axiales est le point d'intersection de ces axes.

Posté par
barka54
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 16:56

Et de plus, l'angle de la rotation est le double de celui formé par leurs vecteurs directeurs respectifs (orienté par rapport à la position des deux droites).

Posté par
barka54
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 17:02

Pour la question 2.a), je pose u le vecteur directeur de (AB) et u' celui de u. on a:
mes(u',u)=½*(-2π/3)=-π/3

Posté par
barka54
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 17:02

Pour la question 2.a), je pose u le vecteur directeur de (AB) et u' celui de u. on a:
mes(u',u)=½*(-2π/3)=-π/3

Posté par
mathafou Moderateur
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 18:10

on est bien d'accord mais ça ne suffit pas à définir une droite !!!

tes droites sont fausses même si elles ont les bonnes directions (les bons vecteurs directeurs)

d'ailleurs ce n'est pas LE vecteur directeur d'une droite mais UN vecteur directeur
pour une droite donnée il y a une infinité de vecteurs directeurs distincts possibles (tous colinéaires)
et pour un vecteur directeur donné une infinité de droites (toutes parallèles)

Posté par
barka54
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 18:24

D'accord, comment puis-je alors ameliorer leurs positions?

Posté par
barka54
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 18:29

La droite (D) doit passer aussi par le point A je pense,,,

Posté par
mathafou Moderateur
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 18:34

Citation :
D'après le cours, le centre de la rotation obtenue quand on
compose deux symétries axiales est le point d'intersection de ces axes.

Citation :
ça sert dans les deux sens :
pour trouver les axes connaissant le centre (pour tracer correctement D et D')

donc 2a) en décomposant une rotation de centre A par deux symétries , ces deux axes passent par A, puisque "A est leur point d'intersection" !

et pareil (totalement indépendamment) pour la 2b et la rotation de centre B

Posté par
mathafou Moderateur
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 18:35

tu penses bien (entre temps pendant que je tapais)

Posté par
barka54
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 18:48

Et oui,  par la suite, la droite (D') passe aussi par le point B.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 18:55

oui, donc maintenant tu peux faire une figure correcte
inutile de s'encombrer avec C, D et les cercles de la question 1, les deux questions sont totalement indépendantes et sans aucun rapport ; chacune sa figure évitera des interférences.

sur laquelle (2c) le centre de la rotation f = S(D') ° S(D) sera alors évident !

Posté par
barka54
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 19:12

Ainsi, f est une rotation de centre R, point de rencontre entre (D) et (D') et d'angle -4π/3 radians.

Transformations affines du plan.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 19:21

Oui,
compte tenu de la valeur particulière des angles , on peut préciser ce point R de façon plus "parlante"

et puis -4pi/3 c'est à un multiple de 2pi près
-4pi/3 n'est pas la valeur principale de cet angle (entre -pi et +pi)

Posté par
barka54
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 19:39

On pourra dire aussi que R est l'un des sommets  triangle équilatéral formé vu que les angles internes sont égaux à 60°. une mésure prinicipale de -4π/3 est 2π/3 ?

Posté par
barka54
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 19:44

L'angle de rotation (f) sera aussi 2π/3...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 19:47

oui, R peut être défini comme le troisième sommet d'un triangle équilatéral direct ABR

et oui, la rotation de -4pi/3 est la même qu'une rotation de +2pi/3

Posté par
barka54
re : Transformations affines du plan. 26-06-20 à 19:52

Exactement...
c'est super!!!
Merci beaucoup à vous!



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