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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Transformations de C
Posté par Klivi
Bonjour, voici un problème que je n'arrive pas à résoudre.
Soit D = {z€C | Im(z)>0}
Soit f : D--->D la bijection définie par f(z)=(az+b)/(cz+d) et ad-bc>0
Montrer que l'image d'un demi-cercle ou d'une demi-droite de D est encore soit un cercle soit une demi-droite de D.
Voici mes recherches :
J'ai montré qu'on peut décomposer f en composée de 5 applications bijectives qui sont :
f1(z)= (a/c) + z
f2(z)= (ad-bc)z
f3(z)=-1/z
f4(z)=cd + z
f5(z)= c^2 z
Mais comment prouver que l'image totale est soit un demi cercle soit une demi droite ?
Bonsoir Klivi 
je suppose que tu as oublié de préciser que ,
,
et
sont réels.
Une idée serait peut-être de montrer d'abord que , puis que
conserve le birapport,
c'est à dire que pour tous complexes distincts ,
,
et
on a
sauf erreur de ma part bien entendu
Merci de votre réponse
Effectivement a,b,c,d sont réels désolé
J'ai montré que f(D) est inclus dans D.
Mais pour le birapport, est ce que cela fonctionne si l'image d'une demi-droite est un demi-cercle et inversement?
Bonjour,
Vu ce que tu as déjà fait, il me semble que tu as plutôt intérêt à t'intéresser à chacune des transformations . Il s'agit de montrer que chacune est une bijection du demi-plan sur lui-même et que l'image d'un cercle ou d'une droite du plan est un cercle ou une droite.
La seule un peu problématique est .
Ah oui d'accord, pour les fi, il est clair que pour f1, f2, f4 et f5, l'image d'une demi droite de D est une demi droite de D et l'image d'un demi cercle de D est un demi cercle de D (propositions vues en cours de geométrie l'an passé si je ne me trompe)
Mais pour f3, justement j'ai essayé hier soir en vain. En faisant des recherches sur internet j'ai vu que l'image d'un cercle est une droite et inversement.
Mais comment le montrer proprement ici, je ne sais pas
Bonjour,
Pourquoi ne pas mélanger les deux pistes ?
Démontrer que chacun des fi conserve les birapport ne me semble pas "affreux".
L'application peut être vue comme la composée (commutative) de la symétrie
par rapport à l'axe imaginaire et de l'inversion
de pôle
et de puissance
,
Tu verras alors (sauf erreur) que l'image est un segment.
Et comme est un cas particulier des homographies de l'énoncé, cela met en doute celui-ci !
L'énoncé n'est pas très clair. Est-ce vrziment l'original. Ce qui me semble clair, c'est qu'il faut travailler avec les intersections de cercles ou de droites avec le demi-plan supérieur. Parler à ce sujet de "demi-cercles" est pour le moins maladroit.
Une méthode qui me semble bien approprié est d'établir la forme générale des équations de cercles ou droites en termes d'affixe complexe. Il est alors facile de voir que la transformée d'une équation de cercle-ou droite par les (y compris
) est une équation de cercle-ou-droite.
Non il s'agissait uniquement d'une question de mon dm que j'ai reformulé. Je pense que je vais admettre le fait que l'image d'un cercle ou d'une droite en est encore un (manque de temps pour réfléchir plus)
Merci à tous d'avoir contribué en tous cas