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Niveau Licence Maths 1e ann
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transformations linéaires

Posté par
Sora03
20-12-19 à 20:49

Bonjour , j'ai cet exo là  à faire mais voilà je suis complètement perdu on vient juste de voir en bref le cours (que je n'ai pas d'autant plus pas compris) et je vois pas du tout quoi faire pour le résoudre merci de m'aider .


On note x     les coordonnées d'un \overrightarrow{u}du plan.  
                     y

Parmi les applications T:\overrightarrow{u}  \rightarrow  T (\overrightarrow{u})  suivantes, sélectionner celles qui sont linéaires


Veuillez choisir au moins une réponse :
T( \overrightarrow{u}  )=     1
                  x+y

T(\overrightarrow{u}  )=   0
                 y+x

T(\overrightarrow{u} )=x−y
                 y−x

T(\overrightarrow{u} )=xy
                 x+y

T(\overrightarrow{u})=0
                  0

T(\overrightarrow{u} )=x+y
                  2y+x

T( \overrightarrow{u})= x+2
                    y+1

Posté par
malou Webmaster
re : transformations linéaires 20-12-19 à 21:07

bonsoir
pour écrire un vecteur colonne T(\vec u)={{x+2}\choose {y+1}} par exemple, à mettre entre les balises Ltx
T(\vec u)={{x+2}\choose {y+1}}

Posté par
Glapion Moderateur
re : transformations linéaires 21-12-19 à 13:24

regarde les critères d'une application linéaire.
A l'œil on vérifie facilement si T(k) = kT( ) ou pas
Et si oui il reste à regarder si T(+) = T()+T() ou pas.

tu peux aussi regarder directement T(k+k')

Posté par
Sora03
re : transformations linéaires 21-12-19 à 18:44

Est ce que c'est possible d'avoir un exemple ?

Posté par
malou Webmaster
re : transformations linéaires 21-12-19 à 19:02

si \vec u \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}
alors

\vec {ku} \begin{pmatrix} kx\\k y \end{pmatrix}

puis T(ku) et kT(u)
....

Posté par
lafol Moderateur
re : transformations linéaires 21-12-19 à 22:32

Bonjour
pour éliminer facilement au moins une partie de celles qui ne sont pas linéaires, tu peux regarder l'image du vecteur nul : si tu ne trouves pas le vecteur nul, c'est que ce n'est pas linéaire

Posté par
Sora03
re : transformations linéaires 22-12-19 à 13:51

Bonjour , ok donc si j'ai bien compris le vecteur nul a pour coordonnées (\vec 0)={{0}\choose {0}}

donc je dois tester si T(\vec 0)=={{1}\choose {0+0}} ={{1}\choose {0}}

si c'est la bonne méthode , je trouve que je peux éliminer la première est la dernière car je n'obtiens pas le vecteur nul

Posté par
Sora03
re : transformations linéaires 22-12-19 à 13:56

pardon message précédent j'ai fait une faute de frappe c'est "et"

Posté par
Glapion Moderateur
re : transformations linéaires 22-12-19 à 14:55

oui effectivement.
mais ça ne prouve pas pour autant que les autres sont linéaires.

Posté par
Sora03
re : transformations linéaires 22-12-19 à 15:19

Oui ok , et donc après je dois faire T(k*\vec u) si k=0 alors 
 \\ T(vecteur u ) =[tex]{{0}\choose {0}} donc celle-là est correcte

Mais après c'est quoi le vecteur v ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : transformations linéaires 22-12-19 à 15:23

heu, je ne comprends pas bien ce que tu racontes.

tu dois regarder si T(k+k') = kT()+k'T() est vrai ou pas.

Posté par
Sora03
re : transformations linéaires 22-12-19 à 15:26

moi non plus honnêtement je comprends pas bien , c'est quoi le vecteur v je dois l'inventer ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : transformations linéaires 22-12-19 à 15:28

oui tu dois prendre (x;y) et (x';y') et calculer les deux expressions pour voir si elles sont égales ou pas.

Posté par
Sora03
re : transformations linéaires 22-12-19 à 15:30

Je suis vraiment désolé mais j'ai vraiment rien compris à ce que cours donc pour le coup je suis vraiment perdu je sais même pas c'est quoi k et k' et v

Posté par
Glapion Moderateur
re : transformations linéaires 22-12-19 à 15:33

Peu importe, l'égalité doit être vraie pour toutes valeurs de k;k';x;y;x';y'
Donc on vérifie si l'égalité est vraie ou pas.
C'est la simple définition d'une application linéaire. voir

Posté par
Sora03
re : transformations linéaires 22-12-19 à 15:59

est ce que c'est possible d'avoir un exemple avec des valeurs chiffrées ?

Posté par
malou Webmaster
re : transformations linéaires 22-12-19 à 16:53

k et k' sont des scalaires c'est à dire des nombres réels ici
et sont des vecteurs

a deux composantes x et y

\vec u \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}
donc
k\vec u \begin{pmatrix} kx\\ ky \end{pmatrix}
1er exemple
T(\vec u )\begin{pmatrix} 1\\ x+y \end{pmatrix}

donc

tu dois comparer maintenant T(k\vec u) et k T(\vec u)

Posté par
Sora03
re : transformations linéaires 22-12-19 à 17:26

Ok , j'ai essayé de faire quelque chose du coup

T(k(\vec u))=T{{kx}\choose {ky}}= {{1}\choose {ky+kx}}

k T((\vec u)) = k{{1}\choose {x+y}}


donc les deux propositions ne sont pas égales

Posté par
malou Webmaster
re : transformations linéaires 22-12-19 à 17:27

tout à fait

Posté par
Sora03
re : transformations linéaires 22-12-19 à 17:42

La condition est également vérifiée pour la 2,3,4,5,6 mais pas pour la 7 est ce que jusque là c'est correcte ?

Posté par
Sora03
re : transformations linéaires 22-12-19 à 18:07

Et après pour la deuxième condition énoncé par Glapion je trouve que pour la 4 la condition n'est pas vérifiée . Les bonnes propositions seraient donc la 2, 3 , 5 et 6 est ce c'est bon ?



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