Tu as certainement du rencontrer des -ev  de dimension 2 ou 3  et des projections p  sur un sous-vectoriel parallèlement à un autre sv  . ces projections vérifient p o p = p .
L'exercice consiste à montre que si  E est un K-ev et si T L(E) vérifie T o T = T , alors T est la projection sur Im(T)   parallèlement  à Ker(T) .

Merci infiniment pour votre réponse. C'est beaucoup plus clair désormais simplement qu'est-ce que signifie la projection sur Im(T) parallèlement à Ker(T)? Accepteriez-vous de me l'expliquer ? géométriquement ?

grâce à vous j'ai par ailleurs pu prouver que T^2=To si et seulement si l'image était contenue dans le noyau.Merci encore

   Inspire toi de la géométrie plane , càd celle de E := ² .

Si a et b sont non nuls et non proportionnels  dans E , G = .a et H = sont 2 sv supplémentaires ( du point de vue dessin : 2 droites passant par l'origine des coordonnées ) .
En algèbre linéaire on dit que (a,b) est une base de E .

Si x E il existe un seul couple (u,v)    GxH tel que x = u + v .
La droite passant par x et parallèle à G  est x + .a  = {  x + t.a | t }
Montre qu'elle rencontre H en un   point c .
c  est la projection de x sur H parallèlement à  G .
Maintenant si tuprojettes c sur H parallèlement à  G , tu obtiendras encore c .
Si p est la projection   sur H parallèlement à  G tu as donc p(p(x)) = p(c) = c .
La linéarité de p  se démontre mais uniquement avec des arguments d'algèbre . Avant on se servait de Thalès & co .

Pour ton exo : E est un K-ev et T L(E) vérifie T o T = T .
.  Si x E tu as T(T(x)) = T(x) donc T(x - T(x)) = 0 ce qui se traduit par   x - T(x)   Ker(T) et la relation x = (x - T(x)) + T(x) prouve que x   Ker(T) + Im(T) .
Que manque-t-il  pour que  cette somme soit directe ?

l'intersection nulle ! je dois avouer que j'ai fait un dessin et pas complètement saisi, mais je vais y réfléchir encore et encore pour comprendre! merci infiniment