Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Transformée de Fourier

Posté par
Ennydra 24-04-18 à 16:46

Bonjour,

On suppose que la transformée de Fourier de $u$ est $û(x)=e^{-x^4}$ . Déterminer les transformées de Fourier de :
a) v définie par $v(t) = u(t-1)$
b) w définie par $w(t) = u(2t)$

J'utilise la définition suivante : $\widehat{u(x)} = \int_{\R} u(t) e^{-itx} dt$ .

J'ai fait $\widehat{u(t-1)} = e^{-ix} \widehat{u(x)}= e^{-x^4-ix}$ (opérateur de translation)
$\widehat{u(2t)} = \dfrac{1}{2} \widehat{u(\dfrac{1}{2} t)} = \dfrac{1}{2} e^{-(\frac{1}{2} t)^4} = \dfrac{1}{2} e^{-\frac{t^4}{16}}$ (opérateur de dilatation)

Voilà, j'aimerais savoir si ces résultats sont justes
Merci d'avance

Posté par re : Transformée de Fourier 24-04-18 à 17:05

Bonjour Ennydra.
C'est bon

Posté par re : Transformée de Fourier 24-04-18 à 17:07

Question subsidiaire : déterminer $u$ ...

Posté par re : Transformée de Fourier 25-04-18 à 14:06

Merci

Pour la deuxième question, c'est pas évident.
$u(t) e^{-itx}$ est la dérivée de $e^{-x^4} = \widehat{u(x)}$ .

On a donc $(e^{-x^4})' = u(t)e^{-itx} = -4x^3 e^{-x^4}$ .
Donc $u(t) = -4x^3 e^{itx-x^4}$ .

J'ai comme un doute, à mon avis j'ai fait une erreur

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