Niveau Master Maths

Transformée de Fourier

Posté par
termina123 08-01-24 à 21:54

Bonjour
J'ai une petite question
On note x=(x[0], ... , x[N-1]) et X=(X[0], ... , X[N-1]) sa DFT (discret fourier transform)
On a :
$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}{x[n]W_N^{-nk}}$ pour k=0, ... , N-1
$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}{X[n]W_N^{nk}}$ pour n=0, ... , N-1
$W_N=e^{i2\pi /N}$

On suppose que x est réelle
1) Montrer que $X[N-k]^*=X[k]$ ou * est le conjugué, c'est bon
2) On suppose N pair, montrer que $x[n]=\dfrac{1}{N}(X[0]+X[N/2](-1)^n+2\sum_{k=1}^{N/2-1}{Re(X[k]W_N^{nk}}))$ en partant de la définition de x[n] et en faisant un changement de variable dans une somme.

Je bloque ici : $x[n]=\dfrac{1}{N}Re(X[0]+X[N/2](-1)^n+\sum_{k=1}^{N/2-1}{X[k]W_N^{nk}}+\sum_{k=1}^{N/2-1}{X[k+N/2]W_N^{nk}(-1)^n})$

Posté par re : Transformée de Fourier 09-01-24 à 01:56

Bonjour
Plutôt que d'écrire ta deuxième somme comme ça, tu peux directement écrire :

$x[n] = X[0] \quad+\quad (-1)^n X[N/2] \quad+\quad \sum_{k=1}^{N/2-1} X[k]W_N^{nk} \quad+\quad \sum_{k=N/2+1}^{N-1} X[k]W_N^{nk}$

et faire dans la dernière somme le changement de variable : $\ell = N-k$

Posté par re : Transformée de Fourier 09-01-24 à 10:56

PS : il y a un facteur 1/N qui s'est perdu quelque part dans ta définition et dans ma formule

Posté par re : Transformée de Fourier 09-01-24 à 14:47

Puis on utilise que $Re(\overline{x} * \overline{y})=Re(x*y)$ pour x et y deux complexes, en l'occurence $\overline{X[k]}$ et $\overline{W_N ^{nk}}$
Merci beaucoup