Bonjour,
Merci d'avance.
On fixe un entier . Pour un vecteur de nombres complexes , on pose pour tout
(où )
et on définit la transformée de Fourier discrète de . Pour simplifier les notations on posera .
Si est une matrice à coefficients complexes, on note la transposée de la conjuguée de . On rappelle que si est une suite de nombres complexes, la matrice de Vandermonde est définie par et
1) Montrer que est une transformation linéaire de dans lui même, et exprimer sa matrice dans la base canonique, qui sera notée .
2) Un entier étant fixé, calculer en fonction de .
3) Calculer . En déduire que est inversible et donner l'expression de
dans la base canonique, qui sera notée .
3) Calculer puis . En déduire que est diagonalisable et que ses valeurs propres appartiennent à l'ensemble .
Réponses :
1) Soit et un scalaire.
Avec et d'échantillons respectifs et bien sur.
Il suffit de montrer que .
Conformement à l'énoncé, est donné par et par
On considère les composantes de :
On a donc montré que .
est donc une transformation linéaire de dans .
Expression de sa matrice dans la base canonique, qui sera notée .
Les vecteurs de base canonique de sont représentés par , où est le vecteur dont toutes les composantes sont nulles sauf la -ème composante qui vaut 1.
On calculer pour former les colonnes de la matrice de dans la base canonique.
On a donc est un vecteur colonne dont la première composante est et les composantes restantes sont obtenues en multipliant par les puissances de
Est-ce juste ?
Est-ce qu'on peut faire plus court pour cette première question ?
Bonjour,
Oui c'est juste et on attend certainement beaucoup plus court pour cette première question qui est une mise en route.
Par exemple
Les sont des formes linéaires en les , donc est un endomorphisme linéaire de .
Par ailleurs, vu le préambule, on attend certainement que tu décrives la matrice de en utilisant une matrice de Vandermonde.
Tu as dans on énoncé deux matrices différentes notées . Rétablis un nénoncé correct.
Je ne vois pas pourquoi le U inversible de la question 3) serait différente du U de la 4).
Ou peut être au niveau de la question 3) les deux matrices sont différentes, mais là encore je ne vois pas vraiment la raison.
L'énoncé n'en dit pas plus, peut-être auriez vous quelque chose à proposer ?
Je peux vous envoyer le pdf ?
Tu as visiblement fait des erreurs en recopiant l'énoncé, ce qui fait qu'il est devenu incohérent.
Par exemple ton de la question 3 qui est en fait (je parie). Au fait quel sens cela aurait-il si était la base canonique, comme tu sembles le penser ?
Et dans tes réponses tu introduis d'autres notations, comme ton qui embrouillent encore plus les choses. Le choix entre police normale et police calligraphique a aussi l'air de se faire au petit bonheur.
Dans la question 1) la matrice de l'endomorphisme dans la base canonique est .
Dans la question 2, tu oublies de considérer le cas où , et le fait de poser te fait passer complètement à côté du résultat attendu : tu oublies que est une racine primitive -ème de l'unité.
Encore un sujet qui part à vau-l'eau.
Reprenons.
On note la transformée de Fourier discrète définie dans le premier message.
1) C'est une application linéaire, dont la matrice dans la base canonique est .
2) La somme vaut si divise , 0 sinon.
3) En utilisant le résultat de 2), on obtient que ., ce qui montre que est inversible d'inverse .
4) Toujours en utilisant 2), on calcule ; puis on obtient facilement . Donc est polynôme annulateur de , ce qui montre que ses valeurs propres appartiennent à .
Matheux14, s'il revient sur ce fil, pourra démontrer les affirmations ci-dessus.
Bonsoir GBZM
1) D'après l'énoncé, pour un vecteur de nombres complexes , pour tout on a et
Donc les sont des formes linéaires en les , donc est un endomorphisme linéaire de .
Les vecteurs de base canonique de sont représentés par , où est le vecteur dont toutes les composantes sont nulles sauf la -ème composante qui vaut 1.
On calculer pour former les colonnes de la matrice de dans la base canonique.
On a donc est un vecteur colonne dont la première composante est et les composantes restantes sont obtenues en multipliant par les puissances de
On déduit conformement à l'énoncé la matrice dans la base canonique en utilisant une matrice de Vandermonde et on obtient :
2) Cas où
On a
Cas où
On a
car les termes de sont les racines -ème de l'unité distinctes de 1 et leur somme vaut 0.
3)
Où est la matrice conjuguée transposée de
On a alors
Comme les matrices de Vandermonde sont orthogonales dans notre cas ici (puisqu'on a une séquence de nombres qui est une séquence de racines -èmes de l'unité () d'après leurs propriétés d'orthogonalité spécifiques), le produit des deux matrices est une matrice diagonale :
Où est le delta de Kronecker.
Rappel : .
D'où donc est inversible d'inverse .
4) D'après les questions précédentes,
.
Donc est polynôme annulateur de , ce qui montre que ses valeurs propres appartiennent à .
La réponse à la question 1 est beaucoup trop longue. On a déjà remarqué que les sont des formes linéaires en les . Les coefficients de ces formes linéaires sont les lignes de la matrice de dans la base canonique, et puis c'est tout !
Question 2 : il faut reprendre le cas où ne divise pas en utilisant la somme des termes d'une progression géométrique de raison différente de 1. Il y a quelque chose de faux dans ce que tu écris : "les termes de sont les racines -ème de l'unité distinctes de 1". Prends par exemple et .
Ça ne va pas pour la 3) : tu utilises comme argument "les matrices de Vandermonde sont orthogonales dans notre cas", juste ce qu'on te demande de montrer ! Franchement, es-tu convaincu par le simili-calcul que tu fais après ? Fais le calcul sérieusement, sans te noyer dans les notations, en utilisant la question 2. J'ai bien insisté sur l'utilisation de 2) pour les questions 3) et 4), mais tu n'en tiens pas compte..
Pour la question 4, le départ ne va pas du tout : ton égalité montre que tu penses que , ce qui est évidemment faux. Ici aussi il faut utiliser 2) et faire le calcul ! Tu aurais pu te douter que si on avait on ne se serait pas embêté à chercher un autre polynôme annulateur que !
Bonsoir GBZM
Effectivement, on pouvait faire mieux.
Cas où
On a donc montré que
3) On a et avec
On a montré que
C'est-à-dire que la multiplication des deux matrices de Vandermonde donnera une matrice diagonale avec en diagonale. Car les termes de la matrice sont de la forme . En d'autres termes :
Donc, .
D'où est inversible d'inverse .
4) On a :
Toujours en utilisant , on a également :
Donc est polynôme annulateur de et ses valeurs propres appartiennent à .
Le 4) est faux, et ça laisse un gros doute sur ton argument pour le 3.
Fais l'effort de calculer explicitement le coefficient de ligne et de colonne du produit et de .
Bonjour GBZM
Coefficient de
Donc on aura que des 1 sur la diagonale et que des 0 en dehors de la diagonale. Car
Coefficient de :
est la matrice identité si et seulement si est pair et .
Dans ce cas, on a et est polynôme annulateur de et ses valeurs propres appartiennent à .
Ok pour le 3. Pour le 4, tu fais correctement le calcul (à condition de comprendre que les lignes et colonnes sont numérotées de 0 à N-1 et pas de 1 à N), mais par contre les conclusions que tu en tires sont aberrantes. Traites un peit exemple jusqu'au bout, par exemple pour N=3, pour avoir une idée plus exacte de ce qui se passe.
est une matrice de permutation.
Et on remarque n'est pas valable pour , puisque le premier élément de est toujours 1.
Du coup je me demande comment la réponse à la question 2) peut aider ici.
Je vais commencer à m'échauffer. Si tu prenais au moins autant de soin à la cohérence au contenu mathématique de ce que tu écris qu'à la façon de l'écrire en LaTeX, tu aurais fait un grand pas !
J'ai bien précisé dans mon dernier message
La suite est par là
Transformée de Fourier discrète (suite 1)
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :