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Transformée de Fourier et calcul d'une intégrale

Posté par
Ennydra 25-04-18 à 16:22

Bonjour,

En considérant la transformée de Fourier de la fonction f(x) = (2-|x|)1_{[-2,2]}, calculer \int_{\mathbb{R}} (\dfrac{\sin(t)}{t})^4 dt.

J'ai calculé la transformée de Fourier de f est \widehat{f(t)} = \int_{-2}^0 (2+x) e^{-itx} dx + \int_0^2 (2-x) e^{-itx} dx = \dfrac{4 \sin^2(t)}{t^2}.

Ensuite, avec la relation de Plancherel, ||f||_2 = ||\widehat{f}||_2, j'écris :

\int_{\R} f(t)^2 dt = \int_{\R} \dfrac{16 \sin^4(t)}{t^4} dt.

On est censé trouver comme résultat \dfrac{2 \pi}{3}, or ce n'est pas du tout ce que je trouve. Je ne vois pas d'où peut sortir le à moins d'avoir fait une erreur...
Savez-vous ce que j'ai pu faire comme erreur ? Merci d'avance...

Posté par
etniopalre : Transformée de Fourier et calcul d'une intégrale 25-04-18 à 19:05

f est  4-pérriodique .
Quelle est la définition de \widehat{f}  si f est T-périodique ?

Posté par
etniopalre : Transformée de Fourier et calcul d'une intégrale 25-04-18 à 19:27

Ne tiens pas compte de ce que je viens de poster . J'ai confusé !

Posté par
Ennydrare : Transformée de Fourier et calcul d'une intégrale 25-04-18 à 20:08

Pas de souci

D'ailleurs j'ai oublié de préciser que j'utilise la définition de transformée de Fourier suivante : \widehat{u(t)} = \int_{\R} u(x) e^{-itx} dx

Posté par
jsvdbre : Transformée de Fourier et calcul d'une intégrale 25-04-18 à 23:00

Bonsoir Ennydra.
C'est tout le problème d'être cohérent avec la définition de Fourier que l'on utilise.

Si tu utilises cette transformée de Fourier, alors il faut prendre  f(x) = (2\pi-|x|)1_{[-2\pi,2\pi]}

Cela te donne \widehat f(t) = \dfrac{\sin^2(2\pi^2t)}{2\pi^2t^2}

Puis avec Plancherel : \int_{\R} f(t)^2 dt = \dfrac{16\pi^3}{3} = \int_{\R}  \dfrac{\sin^4(2\pi^2t)}{4\pi^4t^4} dt.

Il suffit alors de faire le changement de variable x = 2\pi^2t et en faisant attention, on arrive au résultat

Posté par
Ennydrare : Transformée de Fourier et calcul d'une intégrale 25-04-18 à 23:35

Merci beaucoup, j'y vois plus clair


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