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Posté par Profil Ramanujanre : Translation 28-11-18 à 14:09

Ah je vois du coup 2 cas :

Si x est sous la forme  x = a + \dfrac{1}{2}  comme par exemple 1,5 alors :

a = x - \dfrac{1}{2}

Si x \ne  a + \dfrac{1}{2} alors :

a = E(x + \dfrac{1}{2})

Même chose pour y

Donc ça fait 4 types de couples possibles.

Posté par
lionel52
re : Translation 28-11-18 à 14:15

On s'en fout, un seul suffit

Posté par
lionel52
re : Translation 28-11-18 à 14:17

C'est sur le "on a forcément" qu'on est venu chipoter

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 28-11-18 à 14:25

Ah d'accord merci !

C'est vrai que pour x=1,5

E(2) \leq 2 \leq E(2)+ 1  

Mais aussi  1 \leq 2 \leq 2 avec 1 \ne E(2)

Posté par
lionel52
re : Translation 28-11-18 à 14:39

youpi !

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 28-11-18 à 15:15

J'ai une petite question au niveau des quantificateurs :

\R^2 \subset \bigcup_{X \in \Z^2} t_X (C)

Soit X \in \R^2. On cherche l'existence d'un X \in \Z^2 car on est dans une union donc un seul suffit.

Comment on sait quel quantificateur mettre pour K \in C ?  Et dans quel ordre mettre les quantificateurs ?

Posté par
lionel52
re : Translation 28-11-18 à 15:31

Mais de quoi tu parles...

Pourquoi tu nous parles de quantificateur maintenant c'est HS?

Posté par
luzak
re : Translation 28-11-18 à 15:35

Bonjour !
Tu pourrais te relire de temps à autre :

Citation :

Soit X \in \R^2. On cherche l'existence d'un X \in \Z^2 car on est dans une union donc un seul suffit.

Sans compter le "on est dans une union" qui ne veut rien dire ! Et le "un seul suffit" est sans aucun intérêt.
........................................
Ta question sur l'ordre des quantificateurs est sans objet : TU as commencé ta phrase par "Soit K\in\R^2 " (correction de ton X en K) donc, si tu veux tout quantifier (mais c'est vraiment une fantaisie !) tu bien obligé de mettre :
\forall K\in\R^2,\;\exists X\in\Z^2,\;K\in t_X(C)
Il suffit de prendre X=(0,0) (pas il faut : aucune certitude sur l'unicité de X).

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 28-11-18 à 18:41

En fait je voulais savoir comment vous faites pour traduire en équation le fait qu'on veut montrer que :

\R^2 \subset \bigcup_{X \in \Z^2} t_X (C)

Quelle est la règle ?
C'est pas HS j'ai utilisé votre idée mais je sais pas comment la construire moi-même...

Je commence avec : soit M \in \R^2

Posté par
lionel52
re : Translation 28-11-18 à 19:06

Les quantificateurs ne sont pas des formules magiques pour prouver un résultat. Si tu ne sais pas lesquels utiliser cest que tu nas pas compris parfaitement la question ce qui est problématique.

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 28-11-18 à 19:29

Ah d'accord.

Ce que j'ai compris c'est que pour tout point Mde \R^2 , on peut trouver un vecteur X de \Z^2 tel que M se décompose sous la forme suivante :

M = t_X (K)K \in C

Je sais pas si c'est rigoureux écrit sous cette forme.

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 28-11-18 à 19:50

Pour la suite :

Montrer que si X et Y sont 2 éléments distincts de \Z^2 alors : t_X(C) \bigcap t_Y(C) est soit un point, soit un segment, soit l'ensemble vide.

Déjà considérons X \begin{pmatrix}{a\\b \end{pmatrix} et  Y \begin{pmatrix}{a'\\b' \end{pmatrix}

Déjà si : |a-a'| > 1 et |b-b'| > 1 alors t_X(C) \bigcap t_Y(C) = \emptyset

Je l'ai visualisé sur un schéma mais faut-il le démontrer ? Car je vois pas trop comment le démontrer formellement.

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 28-11-18 à 22:38

Ah j'ai trouvé :

Soit M \in t_X (C) alors : a- \dfrac{1}{2} \leq x \leq a +  \dfrac{1}{2}

Soit M' \in t_Y (C) alors : a'- \dfrac{1}{2} \leq x' \leq a' +  \dfrac{1}{2}

Si  a \leq  a '  alors a-a' >1 soit

\forall x , x' \in C|x-x'| >1 donc les 2 carrés translatés ne peuvent pas s'intersecter !

On fait pareil pour y.

Sinon je trouve pour les autres :

|a-a'| = 1 et |b-b'|=1 c'est un point.

Si |a-a'|=1 et b=b' c'est un segment.

Si |b-b'|=1 et a=a' c'est un segment.

Posté par
luzak
re : Translation 28-11-18 à 23:18

Si tu faisais l'effort de relire les réponses !
C'est exactement le même problème que tu as eu à la question D.I.2 : il suffit de chercher si un point de C a une image dans C par la fonction T_{-Y}\circ T_X et tu t'en sors, comme déjà dit, par le fait que C est l'intersection de quatre demi-plans.

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 29-11-18 à 00:00

Ah d'accord merci. Je l'ai fait graphiquement, pas envie de rentrer dans les demi-plans, je pense pas que c'est demandé ici sinon ça serait beaucoup trop long. En plu

Pour la suite, la question m'a l'air difficile

Justifier que : \R^2 = \bigcup_{f \in G} f(T)

J'ai testé :  \R^2 = \bigcup_{X \in \Z^2} t_X(C) donc :

\R^2 = \bigcup_{X \in \Z^2} t_X(\bigcup_{g \in G_0} g(T))

Mais ça m'a l'air bien compliqué tout ça

Posté par
lionel52
re : Translation 29-11-18 à 00:08

Tu peux paver le plan par des triangles. Comment obtenir lun dentre eux en fonction de C?

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 29-11-18 à 00:39

Bah un triangle est la moitié d'un carré mais je vois pas le rapport avec ces égalités d'ensemble, et les G, G_0

Posté par
luzak
re : Translation 29-11-18 à 09:50

1. Si tu viens ici, c'est pour apprendre à faire les choses correctement.
En "zappant" toute démonstration sous prétexte qu'elle t'emm... ce n'est pas le bon moyen pour progresser.
2. Prétendre  "je vois pas le rapport avec les G, G_0" (en français on dit "ne vois pas") puisque tu as déjà démontré (ou admis) (partie C.VII) que f\in G\iff\exists (X,g)\in\Z^2\times G_0,\;f=t_X\circ g c'est du "foutage de gueule".
3. Prétendre que c'est compliqué sans essayer de voir que l'opération "union" étant associative on peut écrire :

 \bigcup_{X \in \Z^2} t_X(\bigcup_{g \in G_0} g(T))=\bigcup_{X\in\Z^2,\,g\in G_0}(t_X\circ g)(T)=\bigcup_{f\in G}f(T)
ce n'est pas très productif non plus !

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 30-11-18 à 00:58

Ça m'emmerde pas, je trouve pas  ça intuitif.

Je comprends pas le rapport entre l'associativité de l'union qui dit que :

(A \cup  B) \cup C  =  A \cup (B \cup C) et

\bigcup_{X \in \Z^2} t_X(\bigcup_{g \in G_0} g(T))=\bigcup_{X\in\Z^2,\,g\in G_0}(t_X\circ g)(T)

Je ne comprends pas comment vous obtenez ça

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 30-11-18 à 04:06

Je me demandais d'où sort l'équivalence :  f\in G\iff\exists (X,g)\in\Z^2\times G_0,\;f=t_X\circ g Donc j'essaie de la démontrer. Mais c'est très bien vu

Car on a montré dans la dernière question de la partie C :

f\in G\Rightarrow \exists (X,g)\in\Z^2\times G_0,\;f=t_X\circ g

Soit f=t_X\circ g avec  g \in G_0

Mais après réflexion comme X \in \Z^2 alors d'après la partie C t_X \in G mais g \in G_0 \subset G donc : f=t_X\circ g \in G car G est un groupe donc stable par composition, d'où l'autre implication et donc l'équivalence.

J'essaie de voir pourquoi :

\bigcup_{X\in\Z^2,\,g\in G_0}(t_X\circ g)(T)=\bigcup_{f\in G}f(T)

=>

Soit h \in \bigcup_{X\in\Z^2,\,g\in G_0}(t_X\circ g)(T)

Alors : \forall x \in T : \exists (X,g) \in \Z^2 \times G_0 : h (x)= t_X \circ g(x)=f(x)

D'après l'équivalence démontrée ci-dessus cela implique que : \forall x \in T : f(x) \in G donc f \in \bigcup_{f \in G} f(T)

Pour la seconde c'est le même raisonnement.

J'aimerais savoir si mes raisonnement sont corrects. Merci d'avance.

Posté par
luzak
re : Translation 30-11-18 à 08:07

Citation :
Mais c'est très bien vu

Tellement bien vu que c'est la question D.VII.

.........................................
Ne pas savoir à ce niveau que f(A\cup B)=f(A)\cup f(B) !!! Et ignorer que cette relation se prolonge à une union quelconque par l'associativité qui autorise de manipuler les unions itérées !!!

Posté par
lionel52
re : Translation 30-11-18 à 09:35

Jpense que tu devrais changer de sujet là ca a plus de sens ca fait 3 semaines que tu es dessus le forum te corrige chaque question et tu apprends rien de nouveau ... tres grosse perte de temps si tu veux passer le Capes...

Posté par
lafol Moderateur
re : Translation 30-11-18 à 09:46

En trois semaines tu aurais eu le temps d'apprendre et peut-être de comprendre un ou deux chapitres de L1... Ça aurait été du temps mieux utilisé

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 30-11-18 à 11:24

luzak @ 30-11-2018 à 08:07

Citation :
Mais c'est très bien vu

Tellement bien vu que c'est la question D.VII.

.........................................
Ne pas savoir à ce niveau que f(A\cup B)=f(A)\cup f(B) !!! Et ignorer que cette relation se prolonge à une union quelconque par l'associativité qui autorise de manipuler les unions itérées !!!


La question DVII montre pas l'équivalence non ?
On part de "Soit f \in G" et on montre qu'il existe t,g tel que : f=t \circ g Donc fallait penser à montrer l'autre implication et l'équivalence !

Bah si je connais cette formule mais ici c'est des unions infinies donc j'aurais pas fait le lien direct.

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 30-11-18 à 11:26

lionel52 @ 30-11-2018 à 09:35

Jpense que tu devrais changer de sujet là ca a plus de sens ca fait 3 semaines que tu es dessus le forum te corrige chaque question et tu apprends rien de nouveau ... tres grosse perte de temps si tu veux passer le Capes...


En même temps j'ai pas trop le temps, j'enseigne en Physique-Chimie au collège et je suis surchargé 8 classes

Bah si j'apprends à manipuler des ensembles et de la géométrie. Je suis pas du genre à abandonner en plus il reste que 4 question.

Le problème 2 m'a l'air facile, je pense que je vais mieux réussir.

Mais quand j'aurai fini le sujet je vais commencer à retravailler de 0 le cours de MPSI.

Posté par
lionel52
re : Translation 30-11-18 à 11:47

Dautant plus si tu nas pas le temps ne le perds pas sur des sujets de Capes où y a 50 fois la même question et où tu passes 3 semaines dessus ... a la limite passe au probleme 2...

Posté par
lionel52
re : Translation 30-11-18 à 11:59

Et ne dis pas que tu es pas du genre à abandonner on te croira pas!!!!

Posté par
luzak
re : Translation 30-11-18 à 15:43

Citation :
Donc fallait penser à montrer l'autre implication et l'équivalence !

C'est encore de la mauvaise foi :
Le D.I. faisait montrer que G_0 est sous-groupe de G et le D.V. faisait établir la condition pour que T\subset G.
Comme ton "autre implication" n'est qu'une inclusion !

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 30-11-18 à 15:51

Bah quand je commence un sujet je vais jusqu'au bout ! Et puis c'est la fin du problème et c'est pas facile. Le niveau est quand même assez élevé sur la fin.

Montrer que si f_1 et f_2 sont 2 éléments distincts de G alors f_1(T) \bigcap f_2(T) est soit un  segment, un point ou l'ensemble vide.

On peut écrire : f_1 = t_1 \circ g_1 et f_2 = t_2 \circ g_2
t_1 ,t_2 sont des translations de vecteur dans \Z^2 et g_1 ,g_2 des éléments de G_0

On a : f_1(T) \bigcap f_2(T) = t_1 \circ g_1 (T) \bigcap t_2 \circ g_2 (T)

Si t_1 = t_2 = t alors :

f_1(T) \bigcap f_2(T) = t \circ g_1 (T) \bigcap t \circ g_2 (T)=t (g_1 (T) \bigcap g_2(T))  

D'après les questions précédentes : g_1 (T) \bigcap g_2(T) est soit un point soit un segment soit l'ensemble vide. Mais la translation d'un segment est un segment, celle de l'ensemble vide est l'ensemble vide et celle d'un point est un point. D'où le résultat.

Si t_1 \ne t_2 je vois pas comment faire

Posté par
lionel52
re : Translation 30-11-18 à 17:32

Un triangle f(T) est contenu dans un des carrés t_X(C) et ensuite tu peux regarder la question II.2

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 30-11-18 à 20:05

Pas compris votre indication Lionel. Mais j'ai une idée :

Considérons t_1 \ne t_2 alors :

Comme g_1 \in G_0 donc :  g_1 (T) \in \bigcup_{g \in G_0} g(T) \subset C  d'où : g_1 (T) \subset C

De même on montre que : g_2 (T) \subset C

Or : f_1(T) \bigcap f_2(T) = t_1 (g_1(T)) \bigcap t_2(g_2(T))

g_1 (T) \subset C \Rightarrow  t_1 (g_1(T)) \subset t_1(T)
g_2 (T) \subset C \Rightarrow  t_2 (g_2(T)) \subset t_2(T)

Ainsi : f_1(T) \bigcap f_2(T)  \subset t_1(C) \bigcap t_2(C)

Ainsi d'après la question précédente, f_1(T) \bigcap f_2(T) est contenu dans l'ensemble vide, un point ou un segment.

Conclusion : l'intersection des 2 triangles f_1(T) et f_2(T) est contenue dans l'ensemble vide, un point ou un segment.

Je vois pas comment finir

Posté par
luzak
re : Translation 30-11-18 à 23:09

C'est pas croyable !
Cela fait la troisième fois que tu butes sur le truc simple :
Si M\in f_1(T)\cap f_2(T) il existe K\in T dont l'image par f=f_2^{-1}\circ f_1 est encore dans T.
T est l'intersection de trois demi-plans et l'image par f d'une des droites frontière est encore une droite.
Il te reste donc à examiner comment les éléments de G agissent sur les côtés du triangle et voir si l'image d'un point de T peut  encore être un point de T.

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 30-11-18 à 23:37

Vous avez lu mon raisonnement ci-haut ? Il me manque la fin du raisonnement

Je veux bien essayer votre méthode, j'ai compris le principe mais j'ai du mal à voir comment l'appliquer.

Soit K \in T

f(K) = f_2 ^{-1} \circ f_1 (K)

Or f_2 ^{-1} = (t_2 \circ g_2)^{-1} = g_2 ^{-1} \circ t_2 ^{-1}

Donc : f(K) =  g_2 ^{-1} \circ t_2 ^{-1} \circ t_1 \circ g_1 (K)

Ça m'a l'air super compliqué votre méthode

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 01-12-18 à 00:03

J'ai pas compris comment faire avec votre méthode Luzak. Je suis perdu.

Posté par
luzak
re : Translation 01-12-18 à 05:02

En fait ce serait très simple si tu avais travaillé avec méthode et non pas survolé les questions sans les comprendre vraiment.

L'intersection f(T)\cap Tf\in G, distinct de l'identité a déjà été étudiée dans les questions précédentes.

D'après C.VII. f=u\circ v;\;u=t_X,\;X\in\Z^2;\;v\in G_0.

Si u est l'identité, f(T)=v(T),\;v\in G_0 distinct de l'identité : l'intersection v(T)\cap T a été étudiée en D.I.2.

Sinon, on a T\subset C,\;v(T)\subset C (vrai même si v est l'identité).
Donc f(T)\cap T=u(v(T))\cap T\subset u(C)\cap C intersection qui a été étudiée en D.II.2.

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 01-12-18 à 21:43

Merci beaucoup Luzak super clair !

C'est vrai vous m'aviez expliqué la méthode :

Si M \in f_1(T) \cap f_2(T) alors \exists (A,B) \in T^2 : f_1(A)=f_2(B)=M

Donc : B = f_2 ^{-1} \circ f_1 (A) \in T

Notons : f= f_2 ^{-1} \circ f_1  \in G

Il fallait donc chercher les points A \in T tels que :

f \in G \Rightarrow f(A) \in T

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 01-12-18 à 23:15

J'en suis à la partie E.

Soit k un entier relatif.

Déterminer la nature géométrique de :

Soit k un entier relatif.

Je dois déterminer la nature géométrique de :

t_k : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 , t_k \begin{pmatrix}{x\\y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}{x+k\\y \end{pmatrix}

s_k : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 , s_k \begin{pmatrix}{x\\y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}{-x+k\\-y \end{pmatrix}

t_k est la translation de vecteur  \begin{pmatrix}{k\\0 \end{pmatrix}

Je vois pas pour s_k

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 02-12-18 à 03:16

J'ai trouvé la solution !

L'expression analytique d'une symétrie de centre \Omega est : x' - x_\Omega = -(x- x_\Omega ) et y' - y_\Omega = - (y - y_\Omega )  

On trouve x_\Omega = \dfrac{k}{2} et y_\Omega = 0

Donc s_k est la symétrie centrale de centre (\dfrac{k}{2},0)

Ensuite j'ai réussi à montrer dans la question suivante que :

t_k \circ s_l = s_{k+l} puis  s_k \circ t_l = s_{k-l}
s_k \circ s_l = t_{k-l} et t_k \circ t_l = t_{k+l}

Je bloque dans la question suivante :

Montrer que H = \{t_k , s_k | k \in \Z \} est un sous-groupe de G.

L'élément neutre pour la composition est l'identité or t_0 = id \in H

J'arrive pas à montrer que : \forall x,y \in H : xy^{-1} \in H

Posté par
luzak
re : Translation 02-12-18 à 08:56

Toujours ton attitude "ras des pâquerettes" !
Fais donc le calcul de s_p\circ s_q,\;s_p\circ t_q,\;t_p\circ t_q !

Posté par
luzak
re : Translation 02-12-18 à 09:00

Je n'avais même pas vu que le calcul a été demandé et fait !
Et malgré ça tu bloques ? vraiment lamentable !

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 02-12-18 à 14:27

Je bloquais par rapport à l'inverse h^{-1} mais je viens de me rappeler que : s \circ s = id et t_X \circ t_{-X} = id
Donc s^{-1} = s et (t_X)^{-1} = t_{-X}

\forall (p,q) \in \Z^2 : t_p \circ (t_q)^{-1} = t_p \circ t_{-q} = t_{p-q} \in H car p-q \in \Z

\forall (p,q) \in \Z^2 : s_p \circ (s_q)^{-1} = s_p \circ s_{q}=t_{p-q} \in H car p-q \in \Z

\forall (p,q) \in \Z^2 : t_p \circ (s_q)^{-1} = t_p \circ s_{q}=s_{p+q} \in H car p+q \in \Z

\forall (p,q) \in \Z^2 : s_p \circ (t_q)^{-1} = s_p \circ t_{-q}=s_{p+q} \in H car p+q \in \Z

J'espère que j'ai rien oublié ....

Posté par
lionel52
re : Translation 02-12-18 à 15:12

Tous ces calculs tu les as déjà faits dans la question précédente il suffisait de dire que les s et t sont inversibles et que leur inverse est dans H

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 02-12-18 à 16:25

On considère l'ensemble :

F = \bigcup_{f \in H} f(T)

Décrire l'ensemble F.

J'ai dessiné l'ensemble F.

Dernière question du problème !

On considère la frise suivante :

Montrer que le sous-groupe des isométries qui conservent cette frise est un sous-groupe de G que l'on décrira.

J'ai pas compris la question

Translation

Translation

Posté par
luzak
re : Translation 02-12-18 à 17:40

C'est pourtant clair !

Il y a un dessin et il faut montrer que les isométries qui envoient cette figure sur elle-même forment un groupe.
Donc :
1. identifier les isométries qui conviennent
2. montrer que ces isométries forment un groupe.

....................................................
Les autres questions étudient un exemple d'un groupe d'isométries laissant invariante une figure et on te demande de faire la même chose avec une autre figure.

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 02-12-18 à 18:12

Je vois mais j'ai du mal à trouver par quel transformation de T on peut obtenir les 2 triangles où j'ai mis des croix ci-dessous...

J'ai déjà identifié : t_k , s_k

Translation

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 02-12-18 à 21:53

Bref, j'y arrive pas

Posté par
luzak
re : Translation 03-12-18 à 08:12

Au lieu de dire t_k,s_k tu devrais préciser qu'il s'agit de  t_0,s_1. Il serait préférable de faire une figure où on voit t_0,s_0.

Un des triangles manquants est alors image de T par rotation de centre O, angle \dfrac{\pi}2 que je noterai r_0 (mais comme tu n'aimes pas les notations cohérentes, je te laisse faire ton cinéma habituel).
En cherchant les composées de t_0,s_0,r_0 tu devrais voir apparaître le triangle manquant et continuer ta frise par des translations...

Bref si tu avais pris conscience des parties déjà traitées tu aurais vu qu'il valait mieux commencer par trouver le morceau de frise contenu dans le carré C donc chercher un sous-groupe de G_0.

Posté par
verdurin
re : Translation 03-12-18 à 17:26

Bonsoir.
Les bijections de E dans E qui conservent globalement une partie de E forment toujours un sous-groupe du groupe des permutations de E.

@Ramanujan
Les deux triangles X sont l'image l'un de l'autre par s1.

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 03-12-18 à 22:43

Verdurin je comprends rien à votre remarque. Je vois pas le rapport entre la question et les bijections / les permutations.

Je cherche comment obtenir les triangles X à partir de T ! Je vois pas en quoi ça m'aide de savoir que les triangles X sont images par l'un de l'autre par s_1

Il faut que je trouve la frise F' tel que :

F' = \bigcup_{f' \in H} f' (T)

Quand on parle de conserver la frise, il faut partir du triangle T comme pour F ?

Posté par
verdurin
re : Translation 03-12-18 à 23:14

On parle des isométries qui conservent la frise donnée.
Il n'y en a aucune qui permet de passer du triangle T à un des triangles X.

Le groupe des isométries conservant cette frise est F.

En notant H l'union de T et d'un des triangles X la frises est évidement  \bigcup_{g\in F} g(H).

Et de façon presque évidente, il n'y a aucune isométrie de G\setminus F qui conserve la frise.

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