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Posté par
luzakre : Translation 03-12-18 à 23:26

Citation :
Il faut que je trouve la frise F' telle que
Non !
La frise est donnée par le dessin E.IV. et le groupe cherché ne peut être égal à H car cette frise est plus étendue (dans le carré il y a deux triangles de plus) que la frise nommée F étudiée dans la question d'avant.

Je t'ai donné la voie à suivre :
1. Commencer par trouver comment obtenir les triangles de la frise qui sont dans le carré C : tu devrais trouver qu'ils sont les images de T par des éléments d' un sous-groupe de G_0.
2. En composant par des translations de  vecteurs (k,0),\;k\in\Z tu auras toute la frise.

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 03-12-18 à 23:33

verdurin @ 03-12-2018 à 23:14

On parle des isométries qui conservent la frise donnée.
Il n'y en a aucune qui permet de passer du triangle T à un des triangles X.

Le groupe des isométries conservant cette frise est F.

En notant H l'union de T et d'un des triangles X la frises est évidement  \bigcup_{g\in F} g(H).

Et de façon presque évidente, il n'y a aucune isométrie de G\setminus F qui conserve la frise.


Désolé je comprends rien du tout.

Je vais suivre la méthode de Luzak qui m'a l'air plus compréhensible.

Posté par
verdurinre : Translation 03-12-18 à 23:47

luzak @ 03-12-2018 à 23:26

Citation :
Il faut que je trouve la frise F' telle que
Non !
La frise est donnée par le dessin E.IV. et le groupe cherché ne peut être égal à H car cette frise est plus étendue (dans le carré il y a deux triangles de plus) que la frise nommée F étudiée dans la question d'avant.

[...].

Ça c'est complètement faux (du moins je crois).

Je dis qu'il n'y a aucune isométrie conservant la frise donnée en E.IV ne conservant pas la frise donnée en E.III.

Il est bien entendu possible que je me trompe.
Si quelqu'un pense que c'est le cas, il suffit de donner une isométrie convenable pour me convaincre de mon erreur.

J'attends avec impatience ce contre-exemple.

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 04-12-18 à 00:03

Voici ce que j'ai fait en notant :
r_0 la rotation de centre O et d'angle \dfrac{\pi}{2}
s_1 \circ s_2 (voir partie C) on a montré que c'est la rotation de centre O et d'angle -\dfrac{\pi}{2}

J'ai compris qu'il faut composer par t_k les 4 éléments du carré C mais j'ai pas trop compris comment écrire le sous-groupe qui conserve la frise sous la forme : H' = \{ .... \}

Translation

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 04-12-18 à 00:17

Je trouve :

Si on note r_0 la rotation de centre O et d'angle \dfrac{\pi}{2} et r_0 ' la rotation de centre O et d'angle -\dfrac{\pi}{2}

Je trouve que : H' = \{ t_k , r_0 , r_0 ' , t_k \circ r_0 , t_k \circ s_0 , t_k \circ r_0' | k \in \Z \}

C'est juste ?

Posté par
verdurinre : Translation 04-12-18 à 00:39

Quelques remarques :

s_1\circ s_2=t_{1-2}=t_{-1}. Il suffit de faire un dessin pour s'en rendre compte.

L'image par r_0 du point (1;0) est le point (0;1).
Le point (1;0) est « dans » la frise, ce qui n'est pas le cas du point (0;1).

La conclusion est évidente : ce que tu dis est faux.

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 04-12-18 à 00:54

Je suis pas d'accord pour s_1 \circ s_2 quand on calcule la matrice A_1 A_2 on trouve la rotation de centre O et d'angle - \dfrac{\pi}{2} (matrice de rotation) voir partie C

Bah non vous avez pas compris ce que je fais, je fais comme dans la question précédente : je calcule l'image du triangle par toutes les 4 isométries de G_0 qui constituent le motif élémentaire de la frise et ensuite ces 4 parties je les translate toutes d'un vecteur de coordonnées (k,0)

Posté par
verdurinre : Translation 04-12-18 à 01:23

Pour préciser, et avec des notations hors sujet.

On a une frise A
Translation
obtenue à la question E.III.

On a une frise B
Translation
donnée à la question E.IV.

Il est graphiquement évident que la frise A est une partie de la frise B.
Il en découle de façon évidente que le groupe R des isométries conservant A est inclus dans le groupe S des isométries conservant B.

Il reste une question : y a t-il une isométrie dans S qui ne soit pas dans R ?

Les rotations d'angles \pm\frac{\pi}2 sont à exclure : l'image de la frise B est alors :Translation qui ne coïncide visiblement pas avec la frise B.

Il est graphiquement évident que R ne contient pas de symétrie par rapport à une droite.
Et pas de symétries glissées non  plus.

On a donc R=S.

Posté par
verdurinre : Translation 04-12-18 à 01:37

Ramanujan @ 04-12-2018 à 00:54

Je suis pas d'accord pour s_1 \circ s_2 quand on calcule la matrice A_1 A_2 on trouve la rotation de centre O et d'angle - \dfrac{\pi}{2} (matrice de rotation) voir partie C

Bah non vous avez pas compris ce que je fais, je fais comme dans la question précédente : je calcule l'image du triangle par toutes les 4 isométries de G_0 qui constituent le motif élémentaire de la frise et ensuite ces 4 parties je les translate toutes d'un vecteur de coordonnées (k,0)

s_1\circ s_2\binom{x}{y}=s_1\binom{-x+2}{-y}=\binom{-(-x+2)+1}{y}=\binom{x-1}{y}=t_{-1}\binom{x}{y}.

Et, pour la suite, je te conseille de lire les questions.
Et de te souvenir que luzak peut se tromper, et moi aussi.

Posté par
luzakre : Translation 04-12-18 à 08:43

J'ai relu l'énoncé et, effectivement, ce n'est pas la même chose que la question E.III.

Mes indications concernant les rotations voulaient obtenir, comme en E.III. l'écriture de l'ensemble  (que verdurin appelle B) comme réunion d'images de T.

Comme on veut en fait un groupe d'isométries qui conservent B la solution est bien H, le même que celui conservant F (notation de l'énoncé, A pour  verdurin)

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 04-12-18 à 17:40

Du coup je n'ai ni compris la question, ni la solution proposée par Verdurin

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 04-12-18 à 17:42

J'ai pas compris comment on trouve le groupe des isométries qui conservent la frise B.

Et ça veut dire quoi : un groupe d'isométrie qui conserve une frise ?

Posté par
lionel52re : Translation 04-12-18 à 18:29

Soit f une isométrie. On dit que f conserve la frise F si f(F) = F
Ca se traduit par : tu appliques une transformation et tu retrouves exactement la même chose

L'ensemble des isométries qui conservent F est un groupe (facile à prouver)


Tu te rends compte déjà que les translations du type (x,0) avec x entier conservent F (si tu décales la frise d'un pas à droite ou à gauche, ben tu obtiens la même frise)
Tu vois aussi que si tu fais la symétrie par rapport à O tu obtiens la même frise

A voir si y a d'autres transformations qui te permettent de conserver cette frise...

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 05-12-18 à 00:28

Ah merci Lionel ! J'ai compris. Je m'attendais à quelque chose de plus difficile pour cette question !

Du coup j'ai compris la réponse à Verdurin aussi maintenant, on voit bien que les rotations et les symétries glissées ne redonnent pas la figure de base

Je vais enfin pouvoir passer au problème n°2

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 05-12-18 à 01:12

@Lionel

L'ensemble des isométries qui conservent F est un groupe qui s'appelle H= \{t_k , s_k | k \in \Z \}

Donc  y a pas que les symétries de centre O mais toutes les symétries de centre (\dfrac{k}{2} , 0 )
Et les translations de vecteur (k,0)

Ca a été démontré à la question E.II

Posté par
1avion2toursre : Translation 05-12-18 à 01:17

*******message modéré****

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 09-12-18 à 22:28

@Verdurin

Pourriez vous expliquer votre raisonnement avec \Z \times {0} et les points de la forme (n,0) ?

Posté par
verdurinre : Translation 10-12-18 à 00:04

On va commencer par la définition d'une frise.

Une frise F est un sous-ensemble du plan affine R2 vérifiant :
  il existe un vecteur u0 tel que
    -- l'image de F par la translation de vecteur u est égale à F ;
    -- si v est un vecteur non nul tel que ||v||<||u|| alors l'image de F par la translation de vecteur v est différente de F ;
    -- si v est un vecteur non colinéaire à  u alors l'image de F par la translation de vecteur v est différente de F.

Il découle de la définition que, quelque soit l'entier relatif k, l'image de F par la translation de vecteur ku est égale à F.
    
Dans le cas qui nous intéresse il est manifeste que le vecteur \mathbf{u}=\binom {1}{0} convient.

Donc, comme F contient le point (0;0)  F contient tous les points (k;0) avec k entier relatif.
Cet ensemble s'écrit Z{0}.

Il en découle que si f est une isométrie telle que f(F)=F  alors f(Z{0})=Z{0}.
On dit que f conserve Z{0}.

Et je te signale qu'il n'y a qu'une symétrie de centre O.

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 12-12-18 à 14:14

J'ai compris mais 2 choses me gênent :

Je vois pas comment vous déduisez de la définition que : quelque soit l'entier relatif k, l'image de F par la translation de vecteur ku est égale à F.

Et graphiquement, j'ai testé sur la feuille, la symétrie de centre (0,5 ; 0) semble marcher pourquoi y a que la symétrie de centre O ?

Posté par
lafol Moderateurre : Translation 12-12-18 à 18:55

Bonjour
1) récurrence
2)

Ramanujan @ 05-12-2018 à 01:12

@Lionel
Donc y a pas que les symétries de centre O mais toutes les symétries de centre (\dfrac{k}{2} , 0 )

verdurin @ 10-12-2018 à 00:04


Et je te signale qu'il n'y a qu'une symétrie de centre O.

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 12-12-18 à 22:07

Ok Lafol merci !

Mais la définition de Verdurin est hors programme non ? J'ai jamais vu cette définition ni en MPSI ni en MP.

Comment faire une récurrence sur un élément de k \in \Z ?

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 13-12-18 à 00:12

Effectuons une récurrence sur k \in \Z^+

Montrons que : k u (F) = F

Pour k=0 la translation de vecteur nul conserve F donc 0  u (F) = F

Soit k \in \Z fixé supposons k u(F) = F

(k+1) u (F) = u \circ ku(F) = u (F)   Or F est stable par u donc :

u(F) = F d'où : (k+1) u(F) = F

On a montré \forall k \in \Z^+ : ku(F) = F

Comment faire pour k \in \Z^- ?

Posté par
luzakre : Translation 13-12-18 à 08:04

Arriver à ce stade et poser une telle question !
Si tu montres qu'une propriété est vraie pour k=0 ET que si elle est vraie pour k elle l'est encore pour k-1 cela s'appelle "démontrer par récurrence que la propriété est vraie pour tout k telle que -k\in\N"

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 13-12-18 à 13:59

J'ai pas tout compris dans votre phrase mais je pense avoir compris le principe !

Je prends k \in \N

J'ai montré qu'elle est vraie \forall k \in \N

Ensuite je prends : -k \in \N donc k \leq 0

Elle est vraie \forall -k \in \N ce qui équivaut à \forall k \in \Z^-

Posté par
lionel52re : Translation 13-12-18 à 14:06

Mon dieu...

Montrons que pour tout k entier alors k est positif.
On sait que cest deja le cas pour k entier naturel. Maintenant si tu prends -k entier naturel alors la propriété est vraie pour -k donc pour k aussi

Posté par
luzakre : Translation 13-12-18 à 14:56

Citation :
mais je pense avoir compris le principe !

Je ne crois pas que tu aies compris !

On veut montrer \forall n\in\Z^-,\;P(n).

Soit Q la relation définie sur \N par Q(n)=P(-n).

Soit n\in\Z^- donc -n\in\N. Si on démontre Q(-n) par récurrence, comme P(n)=Q(-n) on a bien établi P(n).

Mais démontrer Q par récurrence se fait par deux manipulations :
1. Démontrer Q(0)
2. Supposer Q(m) et en déduire Q(m+1).

En traduisant pour P cela donne :
1. Démontrer P(0)
2. En supposant P(n), démontrer P(n-1).

..............................................
Un test de compréhension :
On suppose R(0) et, si R(n), alors R(n+1) et R(n-1).

En mettant les quantificateurs volontairement omis, qu'as tu démontré concernant R.

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 13-12-18 à 21:08

lionel52 @ 13-12-2018 à 14:06

Mon dieu...

Montrons que pour tout k entier alors k est positif.
On sait que cest deja le cas pour k entier naturel. Maintenant si tu prends -k entier naturel alors la propriété est vraie pour -k donc pour k aussi


J'ai pas compris.

Posté par
verdurinre : Translation 13-12-18 à 21:26

Ramanujan @ 12-12-2018 à 22:07

Ok Lafol merci !

Mais la définition de Verdurin est hors programme non ? J'ai jamais vu cette définition ni en MPSI ni en MP.

Comment faire une récurrence sur un élément de k \in \Z ?

Si tu parles de la définition d'une frise, je pense qu'effectivement tu ne l'as pas vue en prépa.
Mais c'est un peu au programme du collège : voir page 5.
Et je me demande ce qu'est une frise pour toi.
La question est posée au CAPES, donc tu dois connaître une définition . . .

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 13-12-18 à 21:26

@Luzak

Pas compris le m il renvoie à quoi ?

Puis j'ai pas compris d'où sort le P(n-1)
Le passage sur "en traduisant pour P" j'ai pas capté.

Vous allez trop vite, j'ai jamais vu ça de ma scolarité

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 13-12-18 à 21:28

verdurin @ 13-12-2018 à 21:26

Ramanujan @ 12-12-2018 à 22:07

Ok Lafol merci !

Mais la définition de Verdurin est hors programme non ? J'ai jamais vu cette définition ni en MPSI ni en MP.

Comment faire une récurrence sur un élément de k \in \Z ?

Si tu parles de la définition d'une frise, je pense qu'effectivement tu ne l'as pas vue en prépa.
Mais c'est un peu au programme du collège : voir page 5.
Et je me demande ce qu'est une frise pour toi.
La question est posée au CAPES, donc tu dois connaître une définition . . .


Votre définition est ni du niveau collège ni du niveau lycée.

Niveau L1 minimum. Donc comment la connaissez vous ?

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 13-12-18 à 22:08

@Lionel

Vous avez rien démontré, je comprends d'où sort votre résultat, j'ai jamais vu ce résultat sur les récurrences.
J'ai toujours travaillé sur des récurrence sur \N

Posté par
verdurinre : Translation 13-12-18 à 22:46

Bonsoir Ramanujan.

Citation :
Votre définition est ni du niveau collège ni du niveau lycée.

Niveau L1 minimum. Donc comment la connaissez vous ?

J'ai passé ( et réussi ) le CAPES, on peut supposer que mon niveau est un peu au dessus du niveau L1.
Et j'essaye toujours d'apprendre.

Posté par
luzakre : Translation 13-12-18 à 23:06

J'ai essayé d'aider mais tu as trop de réticences !

Un dernier essai :
Si tu veux montrer que A=\Z^- il suffit de montrer que l'ensemble des opposés des éléments de A est égal à \N.
Et si la démonstration d'une telle égalité par récurrence n'est pas à ta portée, je ne vois plus quoi dire !

Posté par
verdurinre : Translation 13-12-18 à 23:26

@Ramanujan

Ramanujan @ 13-12-2018 à 22:08

@Lionel

Vous avez rien démontré, je comprends d'où sort votre résultat, j'ai jamais vu ce résultat sur les récurrences.
J'ai toujours travaillé sur des récurrence sur \N

On peut ne rien vouloir apprendre, c'est pas si grave.
Mais c'est gênant pour un futur ( actuel ? ) professeur.

Si tu considères que tout ce que tu n'as pas appris en MP et en MPSI n'existe pas tu ferais mieux de te consacrer à la littérature, tu manques trop d'imagination pour faire des maths.

Je suis vraiment désolé de faire un commentaire comme ça, mais ton mélange de prétention et d'incompétence a fini par m'exaspérer.

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 14-12-18 à 05:40

verdurin @ 13-12-2018 à 22:46

Bonsoir Ramanujan.
Citation :
Votre définition est ni du niveau collège ni du niveau lycée.

Niveau L1 minimum. Donc comment la connaissez vous ?

J'ai passé ( et réussi ) le CAPES, on peut supposer que mon niveau est un peu au dessus du niveau L1.
Et j'essaye toujours d'apprendre.


Je pense que vous avez un excellent niveau largement supérieur au mien ! Rien à voir, je voulais juste dire que le théorème que vous avez sorti est pas du niveau secondaire.

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 14-12-18 à 05:43

verdurin @ 13-12-2018 à 23:26

@Ramanujan
Ramanujan @ 13-12-2018 à 22:08

@Lionel

Vous avez rien démontré, je comprends d'où sort votre résultat, j'ai jamais vu ce résultat sur les récurrences.
J'ai toujours travaillé sur des récurrence sur \N

On peut ne rien vouloir apprendre, c'est pas si grave.
Mais c'est gênant pour un futur ( actuel ? ) professeur.

Si tu considères que tout ce que tu n'as pas appris en MP et en MPSI n'existe pas tu ferais mieux de te consacrer à la littérature, tu manques trop d'imagination pour faire des maths.

Je suis vraiment désolé de faire un commentaire comme ça, mais ton mélange de prétention et d'incompétence a fini par m'exaspérer.


Bof mon incompétence ? Lionel sort souvent des choses qu'il explique pas. Il a un niveau trop élevé pour moi, je comprends rarement ses interventions.
Çà veut dire que je suis trop nul pour faire des  maths ? Je pense pas.

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 14-12-18 à 05:46

luzak @ 13-12-2018 à 23:06

J'ai essayé d'aider mais tu as trop de réticences !

Un dernier essai :
Si tu veux montrer que A=\Z^- il suffit de montrer que l'ensemble des opposés des éléments de A est égal à \N.
Et si la démonstration d'une telle égalité par récurrence n'est pas à ta portée, je ne vois plus quoi dire !


Je vous ai expliqué où je comprends pas le passage à "en traduisant pour P".

Si vous pensez que c'es trivial et que je suis nul bah je l'accepte mais dans ce cas à quoi sert ce forum ?

Si ce résultat était trivial pourquoi je l'ai jamais vu ni en MPSI ni en MP ?

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 14-12-18 à 05:49

Luzak j'ai pas compris votre démo à quoi correponde le m ?

Et je comprends pas pourquoi il faut montrer P(n) implique P(n-1)

Posté par
luzakre : Translation 14-12-18 à 10:32

Décidément , les efforts et toi ....

Voici un théorème
énoncé :
Soit A\subset \Z^- tel que
i) 0\in A
ii) \forall x\in A,\;x-1\in A
Alors A=\Z^-.

démonstration :
Soit  B=-A (définition : x\in B\iff -x\in A) .
On a B\subset \N
0=-0\in B
Pour y\in B on a -y\in A donc (condition ii)) : -y-1\in A.
Par définition de B , on a donc y+1\in B.

les conditions de récurrence sont réunies pour dire B=\N.

........................................................
Test de compréhension :
Soit A une partie de \R contenant un entier p.
Que peut-on dire de A si : \forall x\in A,\;(x+1\in A)\, \text et } \,(x-1\in A)

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 14-12-18 à 19:45

J'ai compris le théorème mais juste la conclusion je comprends pas comment vous concluez B=\N
On a B \subset \N et \forall y \in B : y+1 \in \N après je vois pas.

Pour le test je dirais que :
p \in A donc p-1 \in A et p+1 \in A et par itération tous les éléments entiers relatifs sont dans A et on obtient : \Z \subset A

Posté par
lafol Moderateurre : Translation 14-12-18 à 20:22

pour la n-ième fois, change de lunettes ! B et N ça ne se ressemble pourtant pas beaucoup !

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 14-12-18 à 21:49

Lafol

Pas compris votre remarque on a : B \subset \N

Je dois montrer que :  \N \subset B

Je vois pas comment faire.

Posté par
lafol Moderateurre : Translation 14-12-18 à 22:52

Ramanujan @ 14-12-2018 à 19:45

J'ai compris le théorème mais juste la conclusion je comprends pas comment vous concluez B=\N
On a B \subset \N et \forall y \in B : y+1 \in \N c'est pas N c'est B !après je vois pas.

Pour le test je dirais que :
p \in A donc p-1 \in A et p+1 \in A et par itération tous les éléments entiers relatifs sont dans A et on obtient : \Z \subset A

Posté par
luzakre : Translation 14-12-18 à 23:10

Merci lafol pour ta correction !
....................................
Désolé Ramanujan mais tu aurais pu trouver l'erreur tout seul ! D'autant que le sujet était "raisonnement par récurrence" : je finis par me demander comment  tu rédiges une solution utilisant ce type de raisonnement.

En fait, je ne me demande plus rien en lisant ce que tu as écrit après !
Bien la peine d'énoncer un théorème si tu termines en disant "par itération" : tu devrais lire les rapports des jurys, ils signalent qu'ils n'acceptent pas ce genre de "démonstration" et attendent qu'on écrive les quantificateurs explicitement.

Il fallait faire un effort pour utiliser le théorème énoncé ainsi que le "théorème de récurrence sur les entiers naturels" (comme tu prétends la connaître, je n'ai pas trouvé utile de l'énoncer, mais j'avais tort).

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 14-12-18 à 23:42

@Luzak

Je ne vois pas comment utiliser le théorème.

Je sais même pas si 0 \in A on sait juste que A est une partie de \R contenant p

En plus j'ai juste A  \subset \R et pas A  \subset \Z^- comme dans le théorème.

Posté par
lionel52re : Translation 14-12-18 à 23:55

Ramanujan @ 13-12-2018 à 13:59

J'ai pas tout compris dans votre phrase mais je pense avoir compris le principe !

Je prends k \in \N

J'ai montré qu'elle est vraie \forall k \in \N

Ensuite je prends : -k \in \N donc k \leq 0

Elle est vraie \forall -k \in \N ce qui équivaut à \forall k \in \Z^-




Ce que tu nas pas compris c'est ma réponse à ce message. Là dans ton message tu es en train de nous dire que si une propriété est vraie pour N alors elle lest aussi pour Z- ce qui est évidemment faux

Posté par
luzakre : Translation 15-12-18 à 09:38

Citation :

Je ne vois pas comment utiliser le théorème.

Tu introduis un ensemble A' tel que x\in A'\iff x-p\in A \,\text{et}\,x\in\Z^- et tu en déduis que A'=\Z^-.
Tu recommences avec x\in A''\iff x-p\in A \,\text{et}\,x\in\N et tu en déduis A''=\N (à condition que tu connaisses le théorème de récurrence, ce qui n'est pas sûr).

Conclusion : A\cap\Z=\Z.

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 15-12-18 à 13:36

Je sais faire une récurrence.

Mais encore une fois je comprends rien à votre exercice ni à la correction. Je vois pas de raisonnement par récurrence.  Je fais que ça avec mon élève de terminale S toute la journée.

C'est quoi le rapport entre votre exercice : une partie de \R qui contient p \in \N et le reste ?

C'est quoi ce A' ? D'où ça sort x-p \in A et x \in \Z^- ?
Pareil pour A''.

Posté par Profil Ramanujanre : Translation 15-12-18 à 13:37

J'ai l'impression de lire du chinois.

Posté par
luzakre : Translation 15-12-18 à 14:28

Citation :
Tu introduis un ensemble A' tel que...
et après ça tu demandes "c'est quoi ce A'" ?
..................................
Citation :
x\in A'\iff x-p\in A \,\text{et}\,x\in\Z^-

Est-ce moins "chinois" si je rajoute des parenthèses comme ceci
x\in A'\iff ((x-p)\in A) \,\text{et}\,(x\in\Z^-)
ou dois-je en tirer la conclusion que tu ne sais pas lire une relation mathématique ?

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