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Translations, symétries , démonstrations
Bonsoir tout le monde
Je n'arrive pas à résoudre cet exercice et cela dès la première question
Exercice
ABC est un triangle inscrit dans un cercle (
) de centre O, H est son orthocentre, I est le milieu du segment [BC].
1.On considère le point M du plan tel que
OM = OA + OB + OC
a) Démontrez que : AM = 2 OI
b) Démontrer que les points M et H sont confondus.
2. Soit P le symétrique du point H par rapport à la droite (BC)
a) Déterminer l'image du point P par la transformation définie par : f = tHA o s(BC).
b) Déterminer la droite (
) telle que :
tHA = s o s(BC)
c) En déduire que le point P est sur le cercle (). Énoncer le théorème ainsi démontré
1) a) J'ai réussi à le faire et le b) je n'arrive pas à démontrer
2.a) f(P) j'ai trouvé A
Merci d'avance
Bonjour,
On n'y voit goutte sur ton timbre poste... réduire ne veut pas dire réduire autant !! (il y a de la marge)
1b
la 1a étant en vecteurs, cela prouve que les vecteurs AM et OI sont colinéaires et donc que (AM) est perpendiculaire à (BC) etc
2a OK
2b : quelle est la distance entre les deux droites ?
donc cette droite est la parallèle à (BC) passant par .... (se rappeler de la question 1a)
Oui mais pour la question 1) b) le problème est que je n'arrive pas à démontrer que H est confondu à M. Si j'arrivais à montrer que AH = 2 OI quand je prends une relation avec les vecteurs je n'y arrive pas
2b) La distance entre les deux droites est la hauteur issue de A.
() est parallèle à (BC) et passe par A
tu n'as pas compris ce que je t'ai dit
on s'en fiche de H
ce qui est important est que (AM) est une hauteur (pourquoi : relis ce que j'ai écrit,
en tenant compte de la question 1a et de la propriété élémentaire de collège de la droite (OI))
et on peut bien entendu faire exactement la même démonstration pour (BM) et (CM)
donc M est sur chacune des hauteurs du triangle...
2b : faux
de façon générale
la distance entre les deux droites est la moitié du module de
et déja que HA n'est pas la hauteur, alors la moitié de HA ...
reste à ne pas se tromper de sens ...
Ok j'ai compris pour le 1.b)
pour le 2.b) On a AM = 2 OI d'où HA = 2 IO
La distance entre les deux droites est donc IO donc la droite () est parallèle à (BC) et passe par O
Pour le 2.c) bon f = s o s(BC) o s(BC) = s
Comme A appartient au cercle alors son image appartient aussi à ce même cercle ?
Pour le théorème aussi je ne sais pas
AM = 2 OI ? depuis la question 1b on sait que M c'est H, on ne parle plus que de H dans toute la suite.
translation de vecteur ,
etc tout est traduit directement avec le nom H
certes tu peux dire que c'est la translation de mais cette maladresse de rédaction force le lecteur à se poser des questions sur ce retour inopiné du point M...
son image [de A] par quoi ?
par la S oui
vu que passe par le centre du cercle
et comme cette image c'est P
on en déduit (en combinant les diverses symétries) : le symétrique de H par rapport à (BC) = le point P appartient au cercle.
c'est ça le théorème.
les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle sont sur le cercle circonscrit.
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