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Transvaser

Posté par
flight
15-09-20 à 13:58

Bonjour, un recipient contient initialement trois solutions À, B et C dans les proportions 1/3,1/3 et 1/3 et contient donc Q litres.
On préleve 1 litre de mélange  du recipient et on y remet un litre de solution A, on préleve ensuite 1 litre de mélange et on y remet 1 litre de solution B, on préleve à nouveau 1 litre de mélange et on y remet 1 litre de solution C, puis on recommence le processus de la même façon plusieurs n fois.
Exprimez est la proportion de solution A en fonction du numéro d 'étape k

Posté par
LittleFox
re : Transvaser 15-09-20 à 16:50


n ou k?

Soit q le ratio de liquide qui reste après prélèvement: q = (Q-1)/Q. Soit a,b,c les quantités respectives de solution A, B et C.
Après les prélèvements et ajouts des trois solutions les quantités évoluent comme :
a -> aq³ + q²
b -> aq³ + q
c -> aq³ + 1

On voit que la quantité de solution A tend exponentiellement vers a' = q²/(1-q³).
Soit x l'écart à la quantité stable: x = a - a'. x évolue comme :
x -> xq³

On a donc au final: a(k) = a' + (a(0) - a') q3k.

Posté par
LittleFox
re : Transvaser 15-09-20 à 16:51

erratum :
a -> aq³ + q²
b -> bq³ + q
c -> cq³ + 1

Posté par
Imod
re : Transvaser 17-09-20 à 09:08

@LittleFox

Il me semble qu'il y a encore des erreurs dans tes formules .

Personnelement j'arrive ( avec tes notations ) à : f(a)=q^2(a+\frac 23) qui tend vers a=\frac{2q^2}{3-3q^2} quand on réitère les manipulations .

Imod

Posté par
LittleFox
re : Transvaser 17-09-20 à 09:25


Nos formules pour f(a) donnent la même chose quand a=b=c.
Mais ce n'est le cas qu'à la première itération.

Ma formule donne les même résultats que mes simulations. Pas la tienne

Posté par
Imod
re : Transvaser 17-09-20 à 09:55

En effet on a bien f(a)=q^2(q+1) qui tend vers l'unique point fixe a=\frac{q^2}{1-q^3}  .

J'étais bêtement parti sur a->a-1/3 , b->b-1/3 et c->c-1/3 au lieu de a->qa , b->qb , c->qc .

Imod

Posté par
Imod
re : Transvaser 17-09-20 à 09:59

Edit : f(a)=q^2(qa+1)

Imod

Posté par
flight
re : Transvaser 17-09-20 à 16:06

salut Littlefox , que donne tes proportions pour A ,B et c au bout du 1000 ieme essais (depuis ton algo) ?

Posté par
LittleFox
re : Transvaser 17-09-20 à 17:29

@flight
Cette question n'a pas de sens.
1) Je n'ai pas d'algo, juste des petits tests de vérifications à la main sur moins de 10 itérations.
2) 'A' et 'B' sont des noms de solution, 'c' est une quantité de solution.
3) Les proportions a:b:c dépendent de la quantité totale de liquide (Q) qui n'est pas spécifiée.

Je te répondrai donc 0:0:1 en démarrant avec 1 litre de mélange.

Posté par
flight
re : Transvaser 17-09-20 à 17:43

re..

1) je voyais dans le fil  que tu parlais de simulation , je pensais que tu avais rédigé un algo
   pour décrire la chose

2)A et B sont des solutions oui je sais c'est meme moi qui a crée le post

3)on peut prendre par exemple Q=  100 litres

Posté par
LittleFox
re : Transvaser 17-09-20 à 19:13


Au bout de 1000 itérations, la distance au point stable est multipliée par q3000 8*10-14.

On peut donc dire qu'on est très proche de ce point stable. A ce point les proportions a:b:c sont de q²:q:1 = 9801:9900:10000.

Posté par
Imod
re : Transvaser 18-09-20 à 10:34

J'ai essayé de regarder le problème un peu plus dans le détail .

Tout d'abord la limite de chaque quantité de solution dépend uniquement de la quantité totale de liquide et pas de la proportion de chacune . La proportion du troisième produit au bout de n tours est h(c)=q^{3n}c+\frac{1-q^{3n}}{1-q^3} donc f(a)=q^{3n}a+\frac{1-q^{3n}}{1-q^3}+1-q^2  . Ces formules se généralisent aisément pour k solutions .

La convergence vers le point d'équilibre est très rapide :

Transvaser

Il y a tout de même un point qui me chagrine , je dois faire une erreur logique mais je n'arrive pas à voir où :

L'équilibre final ne dépend pas des proportions initiales et les manipulations sont les mêmes pour les trois solutions . Commencer par la solution 2 revient simplement à changer la configuration initiale et devrait aboutir au même résultat que de démarrer avec la une mais il y a une permutation des limites .

Imod    



Posté par
Imod
re : Transvaser 18-09-20 à 10:48

J'ai compris mon erreur ( il suffit souvent de l'écrire pour en voir l'absurdité ) . Les proportions des solutions changent à chacune des trois étapes , c'est seulement les fins d'étapes qui convergent vers une limite .

Imod

Posté par
LittleFox
re : Transvaser 18-09-20 à 11:26


Oui, les proportions limites sont toujours 1:q:q²:q³:...:qm-1 pour m solutions avec d'abord la dernière solution a avoir été versée, puis l'avant dernière, et ainsi de suite.

Les proportions ici données sont à diviser par 1-qm pour avoir les quantités.

C'est parce qu'on s'arrête toujours après 3 étapes que la symétrie n'est pas apparente.

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