Bonsoir,
Non, tu ne donnes pas une bonne définition des transvections.
Peux-tu recopier la définition de ton cours ?

Bonsoir,
Merci pour ta réponse.
Voici la définition de mon cours : "c'est une application appartenant à GL(E) non triviale qui fixe un hyperplan et telle que det(u) = 1". Plus loin on a "on parle de transvection u d'hyperplan H et de direction D=Im(u-id)"
Je n'arrive pas à visualiser ce que fait la transvection (et je ne trouve pas de schéma explicite au moins en 3 d.

Bien. Avec une définition bien formulée (avec peut-être une ambiguïté sur "non triviale", qui veut dire ici différente de l'identité, l'élément neutre du groupe linéaire), on peut travailler.
Une transvection est un élément du groupe linéaire de (espace vectoriel de dimension finie). Donc son image, c'est tout entier et pas un hyperplan.
Une transvection fixe un hyperplan, et n'est pas l'identité. Donc est de rang 1.
L'image de est une droite vectorielle , son noyau est l'hyperplan . Le fait que est de déterminant 1 entraîne que cette droite est contenue dans . C'est sûrement démontré dans ton cours, je n'y reviens pas.

Retour sur tes questions :
1) Non
2) est contenue dans , comme dit plus haut.
3) Oui, en dimension >2, deux transvections avec même direction peuvent fixer des hyperplans différents (mais qui contiennent tous les deux ).
4) Aucun, aucune transvection n'est une homothétie.

Soit une transvection en dimension 3. Tu prends qui engendre sa direction , tu complètes avec en une base du plan fixe , et tu complètes avec en une base de . Quelle est la tête de la matrice de dans la base ?

Si j'ai bien compris c'est une matrice identité + une matrice dont tous les coeff sont nuls sauf un, qui vaut a par exemple.
Mais si je prends alors un point x de E, la transvection l'envoie sur x+a e1?

Merci pour ta réponse au fait.

Non, avec la base que j'ai indiquée, envoie sur .
Tu as en quelque sorte un cisaillement dans la direction de .

Merci, je vais faire un dessin pour mieux comprendre. Est-ce que la modification est forcément sur la 1ère coordonnée?

Dans un de mes exercices, on conjugue une transvection avec le sous groupe des transvections de direction x un vecteur donné de E. J'ai trouvé que cela donnait le groupe des homothéties. Là c'est possible que le produit de transvections donne une homothétie?


D'autre part, j'ai vu qu'on pouvait écrire une transvection u(x) = x + h(x)a où a appartient à ker (h) , donc H = ker(h) puisque u fixe H.
Et D la direction est-ce que c'est a?

Merci encore pour tes explications.

Merci beaucoup pour  tes réponses, les transvections commencent à s'éclairer pour moi !
Pour les homothéties, j'ai vu dans un exo que le centre de SL(E) est l'ensemble des homothéties de SL(E), donc je me suis dit que comme SL(E) est engendré par les transvections, la composée (opération du groupe SL(E) de transvections devait forcément donner des homothéties.

J'ai une autre question sans lien avec les transvections (en fait j'en ai des milliers mais je filtre ) : existe-t-il une caractérisation d'un sous-groupe propre maximal ou doit-on montrer qu'il n'existe pas de sous-groupe non inclus dans le sous-groupe maximal ?

UIe petite question :
Soit E un espace vectoriel réel de dimension 3. Quels sont les éléments de SL(E) qui sont des homothéties ?

Bonjour,
désolée un peu débordée.
Si j'ai bien compris ce sont les éléments qui fixent une droite D, c'est-à-dire qui appartiennent aux stabilisateurs de son vecteur directeur.
Merci pour l'aide en Algèbre, je me plonge maintenant dans la topologie différentielle, encore un gros morceau à digérer

La réponse ne correspond pas à la question. La seule homothétie d'un espace vectoriel réel de dimension 3 qui appartient au groupe spécial linéaire est l'identité.