Bonjour,

ma figure avec ma démonstration :


soit O le point d'intersection de (AB) avec
(si (AB) et sont parallèles, le "trapèze" devient un parallélogramme et la conclusion est instantannée)
Les propriétés "bien connues" du trapèze affirment que la division (O,P, M, N) est harmonique
Donc en projetant parallèlement à (AB) sur la droite (AD), la division (O,H,A,B) est harmonique et donc le point H est un point fixe.
Comme P est le milieu de HK, le lieu de P est l'homothétique de la droite dans l'homothétie de centre H et de rapport 1/2, donc une droite //

mais une telle démonstration risque de ne pas être forcément comprise ni appréciée (division harmonique, propriétés "bien connues" du trapèze etc ...)

une solution "à la sauvage" consiste à se placer dans un bon gros repère (O, OA, OV) où OV est un vecteur directeur quelconque de la droite et "de calculer tout ça" ...

on pose d l'abscisse de D (c'est un paramètre) et t l'ordonnée de B (la variable principale du problème)
on calcule les coordonnées de tout ça en fonction de d et t
et on obtient l'équation du lieu de P en éliminant t entre les coordonnées de P.
si tout se passe bien on devrait obtenir un truc du genre x = constante (fonction de d) prouvant que P est sur une droite parallèle à l'axe des ordonnées c'est à dire à

ou bien de (re)démontrer le coup du trapèze et de sa division harmonique sans le dire et sans prononcer ces mots là, à grand renfort de Thalès ...
(prouver que la parallèle à AB passe par un point H fixe et que HP = HK/2)

PS :

en fait avec deux coups de Thalès bien placés, on peut montrer que AP/AC est indépendant de la position de B
et la conclusion tombe de suite par le raisonnement terminal :
soient B₁C₁P₁ et B₂C₂P₂ deux positions de la figure
alors on vient de démontrer que AP₁/AC₁ = AP₂/AC₂, donc par la réciproque de Thalès, P₁P₂ est parallèle à C₁C₂ c'est à dire à

Merci pour ton intervention, sur laquelle je réfléchis, mais sans aboutir pour l'instant.

Peux-tu stp m'indiquer quels sont ces " deux coups de Thalès bien placés"?

Merci

PAB / PCD d'une part
et OAB / ODC d'autre part.

Mais alors comment établi-t-on que  AP1/AC1 = AP2/AC2 , qui me semble la meilleure façon d'aboutir pour la démonstration demandée

parce que dans "PAB / PCD d'une part
et OAB / ODC d'autre part", je ne vois pas comment interviennent les positions successives C1, C2 ...qui permettent d définir le lieu d'intersection des diagonales quand B et C varient, comme tu l'as suggéré, et qui me semble une bonne idée.

Merci de m'éclairer sur ce point

A plus tard.

en fait ça tient en 3 lignes
quelle que soit la position de BC on a PA/PC = AB/CD
et AB/CD = OA/OD
et donc PA/PC = OA/OD

et comme ce qu'on cherche c'est AP/AC, on "réecrit" AP/AC = AP/(AP + PC) = ...
la suite est décrite dans mon post de 14:51 (la fin du raisonnement y est direct écrite)

PA1/PC1 = une expression qui ne fait intervenir que O, A, D fixes
PA2/PC2 = la même expression qui ne fait intervenir que O, A, D fixes
donc PA1/PC1 = PA2/PC2 quelles que soient les paires de positions B1C1 et B2C2 choisies.
pour mettre les points sur les i.

Merci beaucoup pour tes explications qui m'ont permis de rédiger ma démonstration de bout en bout.

Pardon si je me trompe, mais permets-moi juste de te faire remarquer que à la place de

oui, si on considère les droites orientées et les mesures orientées tu as parfaitement raison

mais alors on n'écrit pas
mais



et comme cette écriture n'est en principe réservée qu'à des segments d'une même droite, il faut l'étendre à des droites parallèles (AB) et (CD) qu'on oriente ainsi "dans le même sens", sinon le signe n'a pas .. de sens
Le "Thalès" pur et dur vu en 4ème ne parle pas de sens d'ailleurs.
le signe est à rajouter soi même au coup par coup, en mettant soi même que tel segment est la somme ou bien la différence de etc ...
et on est amené à faire autant de figures qu'il y a de cas ... de figure.
complication qui s'évanouit effectivement si on revisite Thalès sous l'aspect vectoriel (= orienté), ou sous l'aspect des homothéties. (de rapport <0 ou >0 selon la configuration papillon ou directe de Thalès)

Oui toute ma démonstration est avec des mesures algébriques, et se termine d'ailleurs par une homothétie de centre A et de rapport , ce qui me permet de conclure au parallélisme de (PPi) avec (CCi), donc avec (D)

Merci encore d'avoir bien guidé ma réflexion et "dérouillé" ma connaissance du tm de Thalès