Inscription / Connexion Nouveau Sujet
trapèze et barycentre
ABCD est un trapeze de base [AB]et[CD] telles que DC = 2AB.Les cotés non parallèles se coupent en M et les diagonales se coupent en N.
1)Demontrer que M est le barycentre de (A,-2),(D,1) et de (B,-2)(C,1),donc le barycentre de (A,-2) (B,-2) (C,1) (D,1).
(la démonstration j'ai réussi à la faire en utilisant thalès mais je ne sais pas comment justifier qu'il est le barycentre de tout les points)
2) Soit I et J les milieux respectif de [AB][CD] Demontrer que les points M I et J sont alignés
(pour celle la j'ai dit que I est l 'isobarycentre de A et B, et J l'isobarycentre de C et D après je ne sais pas comment justifier l'alignement)
3) Demontrer que N est le barycentre de (A,2),(C,1) et de (B,2)(D,1),donc le barycentre de (A,2) (B,2) (C,1) (D,1).En déduire que N ,I etJ sont alignés
(la demonstration j'ai aussi utiliser Thalès et pour l'alignement je suppose que c'est la meme chose que la question 2)
4)Démontrer que (MN) passe par I et J
( je ne sais pas comment démontrer ,mais par raisonnement j'y arrive : Puisque I et J appartiennent aux droites (M) et (N), Les droites M et N sont confondu . D'ou (MN)passe par I et J)
la démonstration j'ai réussi à la faire
bien
mais je ne sais pas comment justifier
alors là, je ne comprends plus
je croyais justement qu'une démonstration servait à justifier !
j'ai demontrer pour chaque paire(A et D;B et C) mais je ne sais pas comment dire qu'il peut etre le barycentre de tout les points du point A , B et C et D quelle que soit la paire
Mais s'est surtout pour la question sur l'alignement que je n'arrive
bon, montre-moi ta démonstration, que je puisse me caler sur tes connaissances et ton niveau de pratique.
d'après le théorème de thalès :
MA/MD = MB/MC = AB/DC or DC =2AB
d'ou MA/MD =MB/MC=1/2
MA/MD= 1/2
MA=1/2MD
2MA = MD
0=MD-2MA
On a bien (D,1)et (A,-2) donc M est le barycentre de D et A
et j'ai fait la meme chose pour l'autre paire et la question 3
bon, alors ton truc avec Thalès pose un problème : il utilise des distances, donc des valeurs positives, qui ne tiennent pas compte du sens des segments.
Or pour travailler avec les barycentres, et donc les vecteurs, Thalès ne suffit plus (ou alors la version algébrique de Thalès, qui est subtile à manipuler, donc on va éviter)
Il faut utiliser des résultats vus en cours sur les barycentres; je vais en utiliser certains, à toi de me dire si tu les connais ou non.
résultat intermédiaire 1 : soit X le barycentre de (A,-2),(D,1), alors X vérifie
donc
de la même manière
soit Y le barycentre de (B,-2),(C,1), alors Y vérifie
résultat intermédiaire 2 : j'utilise et la relation de Chasles
M est sur la droite (AD), donc il existe un réel a tel que
M est sur la droite (BC), donc il existe un réel b tel que
Je soustrais les deux égalités :
Je simplifie à gauche
J'utilise le résultat intermédiaire 2
regroupement des termes
Or les deux vecteurs \vec{BC} et \vec{AD} ne sont pas colinéaires, donc la relation ci-dessus n'est possible que si a+1=0 et b+1=0
donc
a=-1
b=-1
donc
J'utilise le résultat intermédiaire 1 :
Ces deux relations sont caractéristiques du barycentre de (A,-2), (D,1) et du barycentre de (B,-2), (C,1)
d'où le résultat :
M est barycentre de (A,-2), (D,1)
M est barycentre de (B,-2), (C,1)
associativité des barycentres :
le barycentre de deux barycentres est aussi celui de leurs points massiques réunis
le barycentre de M affecté de la somme des deux masses de A et B : -2+1=-1 et du même M affecté de la somme des deux masses de C et D -2+1=-1 est le barycentre de l'ensemble des 4 points A, B, C et D, affectés de leurs masses initiales
mais le barycentre de M et de M est M
donc M est le barycentre de (A,-2),(D,1),(B,-2),(C,1)
autre démonstration :
le barycentre Z de (A,-2),(D,1),(B,-2),(C,1) vérifie
donc par Chasles
et en utilisant
ce qui prouve que M=Z, donc que M est le barycentre de (A,-2),(D,1),(B,-2),(C,1)
Annuler
connectez vous