travail du chapeau

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travail du chapeau
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matheuxmatou  19-03-18 à 21:40
Bonjour à tous,

C'est un classique du genre mais certains ne le connaissent peut-être pas ...

Une cinquantaine de candidats vont être soumis à une épreuve de sélection un peu spéciale.

Demain on les mettra en file indienne et on posera sur leur tête un chapeau qui peut être Rouge, Vert ou Bleu.

Chacun verra les chapeaux de tous les candidats placés devant lui mais évidemment pas ceux de derrière... ni le sien.

L'interrogation commencera par  le dernier de la file, celui qui voit tous les autres. Puis on passera à celui devant lui ... etc. jusqu'au premier de la file.

Chaque candidat, à son tour, ne peut dire qu'un nom de couleur. Il est éliminé si celle-ci ne correspond pas à la couleur de son propre chapeau.

La veille de l'épreuve, ils peuvent se concerter et mettre au point une stratégie... mais une fois l'épreuve commencée ils ne pourront plus communiquer. Par contre chacun entend les réponses fournies par les candidats derrière lui au fur et à mesure de l'épreuve, ainsi que le verdict qui en découle.

On suppose évidemment qu'ils ont tous une excellente mémoire et un potentiel calculatoire sans égal !

La question est : combien peut-on en sauver de façon sûre et certaine... et par quelle stratégie ?
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matheuxmatoure : travail du chapeau  19-03-18 à 21:41
ah oui, au fait ... blankez les réponses !

merci.
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Zormuchere : travail du chapeau  19-03-18 à 23:59
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bonjour

on peut sauver 49 sur les 50, il faut que le premier indique s'il voit un nombre pair ou impair de chapeaux rouges (ou verts) devant lui à l'aide des réponses rouge/vert
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matheuxmatoure : travail du chapeau  20-03-18 à 01:05
Zormuche

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je ne comprends pas ... sois plus explicite (il y a 4 cas de parité sur 2 couleurs... et il doit donner une couleur de chapeau parmi 3).
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matheuxmatoure : travail du chapeau  20-03-18 à 01:06
merci d'expliciter clairement la stratégie à suivre  pour en sauver un maximum à coup sûr ... 
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jsvdbre : travail du chapeau  20-03-18 à 09:19
Bonjour à tous 

Ces histoires de chapeau ne sont pas sans me rappeler celles du Suprême Fasciste de Paul Erdös 

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Voir également ces vidéos d'une série intéressante :  et 

Comme le problème est posé avec trois couleurs de chapeaux, il va falloir adapter 
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dpire : travail du chapeau  20-03-18 à 09:25
Bonjour,

Une bonne série d 'énigmes ,cela fait plaisir..

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je pense que l'on peut sauver  50%+33% avec la méthode

suivante:

le premier se sacrifie en disant  à l'avant dernier sa couleur, et

ainsi de suite  en sachant qu'il a lui-même un chance sur 3

d'avoir la même couleur.
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matheuxmatoure : travail du chapeau  20-03-18 à 09:57
dpi

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pas mal... mais on peut faire nettement mieux ! 
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Zormuchere : travail du chapeau  21-03-18 à 00:42
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je voulais dire que le premier dit "vert" s'il voit un nombre pair de chapeaux verts, et "rouge" s'il voit un nombre impair de chapeaux verts

le participant suivant peut compter à nouveau les chapeaux verts devant lui et s'il tombe sur un résultat contradictoire avec l'information donnée par le premier, alors il sait que c'est lui qui  porte le chapeaux vert 

chacun répète le procédé en tenant compte du nombre de chapeaux verts déclarés par les personnes derrière lui 

et on peut sauver tous sauf un à coup sûr
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matheuxmatoure : travail du chapeau  21-03-18 à 00:43
Zormuche

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je ne suis pas persuadé que tu aies bien lu l'énoncé ! il y a 3 couleurs de chapeau !
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Zormuchere : travail du chapeau  21-03-18 à 00:45
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EN EFFET !! je m'eclipse alors 
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dpire : travail du chapeau  21-03-18 à 08:48
>jsvdb

Merci pour les vidéos ,la deuxième est assez hard....
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matheuxmatoure : travail du chapeau  21-03-18 à 09:08
Zormuche

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mais il y a avait de l'idée... essaye d'adapter
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vhamre : travail du chapeau  21-03-18 à 11:51
Bonjour,

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Ils conviennent : Rouge=0, Vert=1, Bleu=2

Chacun additionne les chapeaux modulo 3 qu'il voit devant lui

Les deux derniers de la file annoncent cette somme, ils ont peut- être la chance qu'elle corresponde à leur propre chapeau

Puis chacun ayant entendu sait à son tour quel est son propre chapeau qu'il annonce 
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matheuxmatoure : travail du chapeau  21-03-18 à 11:52
vham

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bravo , mais pourquoi les deux derniers ? le dernier suffit non ?
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vhamre : travail du chapeau  21-03-18 à 12:18
Pour que le dernier ne soit pas tout seul....
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littleguyre : travail du chapeau  21-03-18 à 14:24
Bonjour,

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Pas facile à expliquer clairement  ; j'essaie :

Les candidats se mettent d'accord sur une stratégie et attribuent par exemple le nombre 0 au rouge, le 1 au vert et le 2 au bleu : chacun ajoute les numéros qu'il voit devant lui et retient le reste de la division de cette somme par 3 (seul le dernier interrogé ne peut bien sûr pas faire cela, mais ce n'est pas grave).

Le premier interrogé annonce la couleur correspondant à ce reste (et a donc une chance sur trois d'être admis).

En revanche le suivant est sûr d'être admis puisqu'il lui suffit de comparer le reste annoncé par le premier à celui de son propre calcul pour en déduire sa propre couleur. Et ainsi de suite jusqu'à l'avant-dernier. Il suffit alors au dernier interrogé de déduire sa couleur des deux annonces faites par ses deux prédécesseurs dont il est sûr qu'elles sont exactes.

Donc il y aura au moins 49 admis sur les 50 candidats.

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matheuxmatoure : travail du chapeau  21-03-18 à 14:25
littleguy 
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littleguyre : travail du chapeau  21-03-18 à 17:14
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C'est un peu idiot ce que j'ai dit pour le dernier interrogé : sa couleur lui a été donnée par l'avant-dernier, non ?
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littleguyre : travail du chapeau  21-03-18 à 17:23
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J'ai rien dit ! 
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matheuxmatoure : travail du chapeau  21-03-18 à 18:17
littleguy

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ben disons qu'on a besoin de toutes les réponses précédentes en fait. Le premier interrogé (dernier de la file) donne la somme totale modulo 3. En soustrayant de cette somme toutes les réponses entendue du 2ème jusqu'à celui qui est juste derrière moi, je sais combien vaut cette somme pour celui qui est derrière moi, et comme je sais combien elle vaut pour moi, par soustraction j'en déduit la couleur de mon chapeau.
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littleguyre : travail du chapeau  21-03-18 à 18:39
matheuxmatou

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Oui oui, on est bien d'accord sur le principe. Juste qu' à force de cogiter sur la façon d'expliquer au mieux les choses j'ai fini par m'emmêler les pinceaux !

"Le mieux est l'ennemi du bien". 
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littleguyre : travail du chapeau  21-03-18 à 18:45
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Ce à quoi on pourrait me rétorquer : "ce qui se conçoit bien s'énonce clairement..." 
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matheuxmatoure : travail du chapeau  21-03-18 à 18:47
littleguy

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... et les mots pour le dire vous viennent aisément ! 
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littleguyre : travail du chapeau  21-03-18 à 18:49
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Dans ma mémoire c'est "arrivent" 
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carpediemre : travail du chapeau  22-03-18 à 13:19
salut

il me semble quand même qu'il y a un petit pb (j'ai suivi sans vraiment réfléchir)

la stratégie de littleguy semble marcher (j'avais tout de suite pensé à une histoire de modulo 3 (il y a avait déjà eu de nombreux fils sur le même type de pb mais avec deux couleurs))

mais le pb c'est que  le premier (enfin le dernier qui commence ) se trompe ou pas mais mais comme il y a deux erreurs possibles pour que le suivant annonce sa bonne couleur c'est qu'on annonce quand même quelle était sa couleur

par l'exemple :

admettons que le 50 porte un chapeau V

s'il annonce par chance sa couleur c'est ok

mais s'il annonce par exemple R et qu'on lui réponde juste faux

celui qui est devant peut toujours hésiter entre V et B

je ne sais pas si j'ai raison je n'ai pas testé ... mais le pb n'existe-t-il pas ?
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matheuxmatoure : travail du chapeau  22-03-18 à 13:45
carpediem

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R=0 V=1 B=2

il annonce 0

peu importe que ce soit sa couleur ou pas, cela veut dire que la somme modulo 3 des chapeaux qu'il voit vaut 0

je suis devant lui et je fais aussi cette somme... et je trouve 2

ça veut dire que le mien vaut 1 et j'ai raison

celui qui est devant moi sait maintenant que ma somme valait 2 (il a entendu le premier "0" et a déduit mon "1"). Il calcule la sienne et en déduit son chapeau

etc.
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carpediemre : travail du chapeau  22-03-18 à 14:31
voila qui est propre et clair ...

merci 
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Zormuchere : travail du chapeau  23-03-18 à 02:12
en voyant la stratégie de littleguy, je me dis que j'aurais pu réfléchir un peu plus. D'ailleurs, je n'ai pas vraiment réfléchi... je connaissais déjà cette énigme pour deux couleurs
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dpire : travail du chapeau  23-03-18 à 11:59
Bonjour,

Excellent,

Dans la version diabolique on doit donner la couleur
  Posté par 
matheuxmatoure : travail du chapeau  23-03-18 à 22:59
Voilà, je crois que tout est dit... voici une formulation possible de la solution

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On associe les trois couleurs au nombres 0, 1 et 2.

numérotons les candidats en partant du dernier de la file (le 1er qui répond). Celui-ci fait la somme des chapeaux qu'il voit et donne le résultat modulo 3. Il sera peut-être sauvé si ce résultat correspond à la couleur de son chapeau, mais c'est un hasard.

Le deuxième en fait autant, après avoir entendu ce que dit le 1er. Si par exemple le premier a dit 1 et que le second trouve 2, il sait que son chapeau a la couleur 2 (la différence).

De proche en proche, chacun entend les réponses des précédents, qu'il déduit au fur et à mesure de ce qu'avait dit le premier à répondre. Ainsi chacun connait la somme modulo 3 de celui qui est derrière lui. Il lui reste à déduire la somme de ce qu'il voit pour connaitre la couleur de son propre chapeau.

On peut donc en sauver 49 ... à coup sûr.

mm