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Travail vecteurs

Posté par
Nearraa
06-11-21 à 14:22

Bonjour a tous.
Je me permets de publier ceci car j'ai un exercice sur les vecteurs que je ne comprend pas voici l'énoncé:
On donne le point A(2;-1;-3) et les vecteurs (2;1;0) et (-1;4;5).
P designe le plan (A; , ).

1)

a)Le point B(-2;6;7) appartient t'il au plan P ?

b) M est le point tel que B soit le milieu de [AM].
Justifiez que M appartient au plan P.

2). On donne le point C(12;-8;-11).

a)Ce point appartient-il au plan P ?

b)Déterminer la position relative de la droite (MC) et du plan P.

Je vous remercie d'avance de votre aide

Posté par
Glapion Moderateur
re : Travail vecteurs 06-11-21 à 14:36

Bonjour,
1a) pour savoir si B est dans le plan, regarde si le vecteur AB est une combinaison linéaire de et

1b) B milieu de [AM] quelles sont les coordonnées de M ?
puis même chose que 1a) pour voir si M est dans le plan.

Posté par
Nearraa
re : Travail vecteurs 06-11-21 à 20:03

Je n'ai pas bien compris pour la 1)a
J'ai seulement entamer se chapitre (1 cours) et je n'ai plus trop de souvenir comme faire une combinaison linéaire en regardant sur internet je vois des formules A1+A2 ect cela veut il dire qu'il faut que j'additionne les coordonée de mon point A et B et que je verifie qu'il different du vecteur et ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Travail vecteurs 06-11-21 à 20:52

Si B est dans le plan alors on a une relation du type : \vec{AB}=a\vec{u} + b \vec{v}

Comment se traduit cette égalité vectorielle pour les 3 coordonnées ?
tu as 3 relations avec 2 inconnues a et b. Si les 3 équations sont compatibles (on en déduit a et b) et B est dans le plan. Par contre si elles sont incompatibles alors c'est que B n'est pas dans le plan.

Posté par
Nearraa
re : Travail vecteurs 06-11-21 à 22:57

Par conséquent je doit faire AxB et ceci serai egal a Ax + Bx ? Je ne comprend pas bien je doit donc multiplier mes coordonnées?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Travail vecteurs 07-11-21 à 10:11

quelles sont les coordonnées du vecteur AB ?
quelles sont les coordonnées du vecteur a\vec{u} + b \vec{v} ?

Posté par
Nearraa
re : Travail vecteurs 07-11-21 à 11:21

Pour avoir les coordonnées du vecteurs AB je fait (xB-xA;yB-yA;zB-zA) soit vecteur AB=(-2-2;6-(-1);7-(-3)) soit vecteur AM=(-4;7;10)
Donc les coordonnées du vecteurs AM sont x=-4
y=7
z=10
C'est sa?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Travail vecteurs 07-11-21 à 11:42

du vecteur AB, oui c'est correct.
maintenant tu calcules les coordonnées du vecteur a\vec{u} + b \vec{v} tu les égales à celles de AB et tu essayes de trouver a et b en résolvant le système.

Posté par
Nearraa
re : Travail vecteurs 07-11-21 à 11:57

Il faut que je fasse la meme chose avec les coordonées du point A et celle du vecteur et de meme pour c'est sa?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Travail vecteurs 07-11-21 à 12:03

laborieux !
par exemple la coordonnée en x de a\vec{u} + b \vec{v} c'est 2a-b donc une première relation sera -4 = 2a-b
Trouve les deux autres relations.

Posté par
Nearraa
re : Travail vecteurs 07-11-21 à 12:54

Je ne comprend pas pourquoi 2a-b en x pour le vecteur on as 2 et en x pour on as -1? Je suis complètement perdu a et b sont bien des inconnue? Il ne s'agit pas du A et du B on est daccord?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Travail vecteurs 07-11-21 à 15:30

pour le vecteur on as 2 OK
donc la coordonnée en x de a c'est 2a
pour on a -1 OK
donc la coordonnée en x de b c'est -b

au total la coordonnée en x de a + b est donc 2a-b
est-ce que tu es d'accord là dessus ?

oui a et b sont des coefficient inconnus qui n'ont rien à voir avec les points A et B. On va avoir 3 équations pour les déterminer, donc une de trop. Si ces 3 équations sont compatibles, ça veut dire que le point B est dans le plan.

Posté par
Nearraa
re : Travail vecteurs 07-11-21 à 16:52

Ok donc sa veut dire qu'on as aussi 7=a+4b et 10=5b c'est bien sa?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Travail vecteurs 07-11-21 à 17:14

ça oui donc 3 équations et deux inconnues. résous,
regarde si le système est compatible ?

Posté par
Nearraa
re : Travail vecteurs 07-11-21 à 17:35

Ok donc j'ai:
-4=2a-b
7=a+4b
10=5b
Soit grace au 10=5b je peut déterminer que b=2 car 2x5=10 il me reste donc 1 inconnue a et je remplace donc par exemple 7= a+4b donc 7=a+4x2 soit a=-1 je teste pour l'autre formule et j'ai: -4=(2x-1)-2 par conséquent
S={(-1;2)} c'est bien ça? Et donc si les 2 inconnue fonctionnent pour les 3 équations alors  je peut dire que le point B est dans le plan P c'est bien ça?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Travail vecteurs 07-11-21 à 17:50

oui effectivement, les 3 équations sont compatibles, on en déduit que

\vec{AB}=-\vec{u} + 2 \vec{v} ce qui montre que B est bien dans le plan défini par le point A et les deux vecteurs \vec{u} et \vec{v}

passe à la suite.

Posté par
Nearraa
re : Travail vecteurs 07-11-21 à 18:19

Pour la suite si j'ai bien compris le point AM correspond a 2AB car B est le milieu de AM mais je ne comprend pas comment faire ni comment déterminer les coordonnées  du point M ducoup

Posté par
Glapion Moderateur
re : Travail vecteurs 07-11-21 à 19:11

tu n'en as pas vraiment besoin, tu écris que \vec{AM}=2\vec{AB} et tu utilises ton résultat de la question précédente pour montrer que \vec{AM} est bien une combinaison linéaire de et

Posté par
Nearraa
re : Travail vecteurs 07-11-21 à 20:10

Ok donc je multiplie bien chaque coordonnées de AB par 2 pour avoir AM et ainsi je refait la meme chose que pour la 1 a?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Travail vecteurs 07-11-21 à 20:28

tu n'as pas besoin de refaire la même chose,
 \vec{AM}=2\vec{AB}=-2\vec{u} + 4 \vec{v}
suffit à prouver que M est dans le plan.

C'est d'ailleurs assez évident géométriquement :
A est dans le plan et B aussi donc toute la droite AB l'est.
M est sur la droite AB par construction donc M est dans le plan.

Posté par
Nearraa
re : Travail vecteurs 07-11-21 à 20:34

Donc il faut juste expliquer pour quel raison?
Il n'y a pas besoin de prouver que AM est colinéaire avec AB?  

Posté par
Glapion Moderateur
re : Travail vecteurs 07-11-21 à 22:15

\vec{AM}=2\vec{AB} ça montre bien que AM est colinéaire à AB, non ?

Posté par
Nearraa
re : Travail vecteurs 07-11-21 à 22:17

Oui ok c'est logique par conséquent la j'ai 1 a et 1 b et pour la 2 a ducoup je fait la meme chose que pour le premier je fait le vecteur AC et refait la meme chose pour verifier si il est bien dans le plan P?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Travail vecteurs 07-11-21 à 22:31

oui

Posté par
Nearraa
re : Travail vecteurs 09-11-21 à 22:55

Je tenais a vous remercier je sait un peut en retard mais j'ai pu terminer mon exercice merci



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