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Traversée de la rivière

Posté par
Vassillia
19-09-21 à 14:26

Bonjour à tous,

Je vous propose un vieux problème de Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638) revisité dans "Amusements in mathematics"

Il y a n>1 couples qui doivent traverser une rivière avec une barque. A cette époque, aucune femme ne peut rester en compagnie d'un homme si son mari n'est pas présent, que ce soit sur terre ou dans une barque. Tout de même, les femmes comme les hommes peuvent ramer.

1er cas : Ils disposent d'une barque de 4 places
2nd cas : Ils disposent d'une barque de 2 places et d'une ile entre les 2 rives.

Quel est le nombre de traversée minimum pour faire passer tout ce beau monde d'une rive à l'autre ? Une traversée correspond à un unique trajet entre les deux rives ou entre une rive et l'ile.

N'hésitez pas à proposer votre solution même si vous n'avez pas le minimum et le 1er cas est plus facile à trouver que le second !

Posté par
mathafou Moderateur
re : Traversée de la rivière 20-09-21 à 11:49

Bonjour,

il a aussi été revisité dans "Récréations mathématiques" tome I de E. Lucas (1842-1891)

le 1er cas

 Cliquez pour afficher

2ème cas ;
Lucas dixit :
E.Lucas

une méthode très simple et ingénieuse dont l'idée nous a été suggérée à Montpellier en 1879 par un jeune élève du lycée de cette ville. Cadet de Fontenay.
je n'en dirai pas plus vu que ce serait de la recopie du livre de Lucas.

Posté par
Vassillia
re : Traversée de la rivière 20-09-21 à 15:13

Bonjour mathafou,
Bravo pour le 1er cas, tu as bel et bien le min
Pour le 2nd cas, le problème avait été traité par E.Lucas mais sa solution est fausse au sens où il ne donne pas le min, on peut mieux faire. Tu peux donc essayer d'améliorer, c'est un petit problème assez sympa je trouve.

Posté par
dpi
re : Traversée de la rivière 21-09-21 à 09:30

Bonjour,

Pour le cas 1

 Cliquez pour afficher

Pour le cas 2

je vais chercher une idée qui fait ramer les femmes.

 Cliquez pour afficher

Posté par
mathafou Moderateur
re : Traversée de la rivière 21-09-21 à 11:41

Bonjour dpi

 Cliquez pour afficher

Posté par
Vassillia
re : Traversée de la rivière 21-09-21 à 12:28

Bonjour dpi,
Bravo pour le 1er cas, malheureusement pour le 2nd cas, ce n'est pas possible en l'état comme le fait remarquer mathafou. Tu as tout de même la bonne idée, il faut faire ramer les femmes. Etait-ce l'objectif de ces messieurs incapable de respecter les dames ? L'histoire ne le dit pas.

Posté par
dpi
re : Traversée de la rivière 21-09-21 à 14:31

Je pensais qu'aucun homme avec sa femme a coté n'oserait draguer
une femme seule.

Posté par
dpi
re : Traversée de la rivière 21-09-21 à 15:06

Suite,

 Cliquez pour afficher

Posté par
Vassillia
re : Traversée de la rivière 21-09-21 à 15:31

J'ai des doutes, tu es strictement inférieur au min.
Si tu parles de la solution de E.Lucas, à priori, j'ai lu que c'est le double même si je ne la connais pas. Peut-être compte t'il en aller-retour ?
D'ailleurs je veux bien que l'un de vous la détaille par curiosité.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Traversée de la rivière 21-09-21 à 16:59

Je confirme que Lucas compte en aller- retours
(et il dit "au plus" et non "pas moins de" )
et même pire :
"les femmes de l'ile passent le second bras et l'une d'elles revient chercher la dernier "
ça fait 3 voyages en vrai et il ne les compte que pour un seul

détails :

 Cliquez pour afficher

on trouve chez Sam Loyd une solution en 17 voyages avec 4 couples.
Mais il ne parle pas de généralisation

Posté par
Vassillia
re : Traversée de la rivière 21-09-21 à 17:21

D'accord, merci mathafou, je vois, puisque Lucas dit au plus, rien à redire, cela ne contredit pas le fait qu'on puisse faire mieux.

17 voyages avec 4 couples est effectivement le minimum, il ne reste plus qu'à généraliser et à démontrer que c'est le minimum si on est très motivé.



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