• Exercice l:Le but de l'exercice est de montrer le théorème
de Thales en utilisant les vecteurs.
  Soit ABC un triangle.
  Soit B' € (AB) et C' € (AC) tel que:
- A B B'et A C C" sont dans le même ordre.
   AB'/AB = AC'/AC        

   Il faut montrer que (BC) et (B'C') sont parallèles .
     1. Montrer qu'il existe un réel positif k tel que AB'
== kAB et AC' = kAC.
     2. En déduire qu'il existe un réel l tel que AB' =
lAB et AC' = lAC .(on distinguera les cas où AB'et
        AB sont de même sens et où AB'et AB sont de sens opposé)
     3. Démontrer que B'C'= lBC.
     4. Conclure .
     5. Montrer que AB'/AB=AC'/AC=B'C'/BC


• Exercice 2: Maintenant le but est de montrer la réciproque du théorème
de Thales .
   Soit ABC un triangle ( autrement dit tel que AB et AC ne sont pas
colinéaires).
   Soit B'appartenant à(AB) et C' appartenant à (AC) tel
que (B'C') et (BC) sont parallèles.
     1. Justifier qu'il existe k appartenant à R tel que AB'
= kAB.
     2. Justifier qu'il existe l appartenant à  R tel que AC'
= lAC.
     3. Justifier qu'il existe m appartenant à R tel que B'C'
= mBC.
     4. Prouver l'égalité (k - m)AB = (l - m)AC.
     5. Si k - m et l - m sont non nuls que peut-on en déduire? Est-ce
possible?
     6. En déduire que k = m ou l = m.
     7. Si k = m que peut-on en déduire?
     8. Si l = m que peut-on en déduire?
     9. Conclure et montrer que AB'/AB=AC'/AC=B'C'/bc